专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减；(2)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数．注意：1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．考点一 不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为－eq\f(1,2)，－eq\f(1,6)，1，eq\f(4,3)，则函数y＝eq\f(f(x),ex)的单调递减区间是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(4,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6))) D．(1，2)答案 B 解析 若虚线部分为函数y＝f(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数y＝f(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点，符合题意．对函数y＝eq\f(f(x),ex)求导得y′＝eq\f(f′(x)－f(x),ex)，由y′<0，得f′(x)0．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1)．(5)设函数f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (－∞，－1)，(0，＋∞) [－1，0] 解析 ∵f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0．当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0．当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．(6)函数y＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为( )A．(－1，1) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 B 解析 y＝eq\f(1,2)x2－lnx，y′＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)＝eq\f((x－1)(x＋1),x)(x>0)．令y′＜0，得00，当eq\f(π,6)0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递减．(9)函数f(x)＝2|sinx|＋cos2x在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的单调递增区间为( )A．[－eq\f(π,2)，－eq\f(π,6)]和[0，eq\f(π,6)] B．[－eq\f(π,6)，0]和[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)] C．[－eq\f(π,2)，－eq\f(π,6)]和[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)] D．[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]答案 A 解析 由题意，因为f(－x)＝2|sin(－x)|＋cos(－2x)＝2|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当0≤x≤eq\f(π,2)时，f(x)＝2sinx＋cos2x，则f′(x)＝2cosx－2sin2x，令f′(x)≥0，得sinx≤eq\f(1,2)，所以0≤x≤eq\f(π,6)，由f(x)为偶函数，可得当－eq\f(π,6)≤x≤0时，f(x)单调递减，则在[－eq\f(π,2)，－eq\f(π,6)]上单调递增，故选A．(10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx答案 B 解析 对于A，f(x)＝sin2x的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>eq\f(\r(3),3)或x<－eq\f(\r(3),3)，∴函数f(x)＝x3－x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝－eq\f(x－1,x)，令f′(x)>0，得00恒成立，∴f(x)在区间(4，5)上单调递增．2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 2．答案 D 解析 设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<00，即函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；当0