专题04 函数的单调性(解析版)

2023-11-08 · U1 上传 · 17页 · 467 K

专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在区间(a,b)上可导,(1)如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在(a,b)内单调递增;(2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在(a,b)内单调递减;(2)如果f′(x)=0,那么函数y=f(x)在(a,b)内是常数函数.注意:1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.考点一 不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f′(x)的零点;第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.【例题选讲】[例1](1)定义在[-2,2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示,设O为坐标原点,A,B,C,D四点的横坐标依次为-eq\f(1,2),-eq\f(1,6),1,eq\f(4,3),则函数y=eq\f(f(x),ex)的单调递减区间是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,6),\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1)) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),-\f(1,6))) D.(1,2)答案 B 解析 若虚线部分为函数y=f(x)的图象,则该函数只有一个极值点,但其导函数图象(实线)与x轴有三个交点,不符合题意;若实线部分为函数y=f(x)的图象,则该函数有两个极值点,则其导函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点,符合题意.对函数y=eq\f(f(x),ex)求导得y′=eq\f(f′(x)-f(x),ex),由y′<0,得f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,1).(5)设函数f(x)=x(ex-1)-eq\f(1,2)x2,则f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.答案 (-∞,-1),(0,+∞) [-1,0] 解析 ∵f(x)=x(ex-1)-eq\f(1,2)x2,∴f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令f′(x)=0,得x=-1或x=0.当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0.当x∈[-1,0]时,f′(x)≤0.当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减.(6)函数y=eq\f(1,2)x2-lnx的单调递减区间为( )A.(-1,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)答案 B 解析 y=eq\f(1,2)x2-lnx,y′=x-eq\f(1,x)=eq\f(x2-1,x)=eq\f((x-1)(x+1),x)(x>0).令y′<0,得00,当eq\f(π,6)0,∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,6)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6),π))上单调递增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(5π,6)))上单调递减.(9)函数f(x)=2|sinx|+cos2x在[-eq\f(π,2),eq\f(π,2)]上的单调递增区间为( )A.[-eq\f(π,2),-eq\f(π,6)]和[0,eq\f(π,6)] B.[-eq\f(π,6),0]和[eq\f(π,6),eq\f(π,2)] C.[-eq\f(π,2),-eq\f(π,6)]和[eq\f(π,6),eq\f(π,2)] D.[-eq\f(π,6),eq\f(π,6)]答案 A 解析 由题意,因为f(-x)=2|sin(-x)|+cos(-2x)=2|sinx|+cos2x=f(x),所以f(x)为偶函数,当0≤x≤eq\f(π,2)时,f(x)=2sinx+cos2x,则f′(x)=2cosx-2sin2x,令f′(x)≥0,得sinx≤eq\f(1,2),所以0≤x≤eq\f(π,6),由f(x)为偶函数,可得当-eq\f(π,6)≤x≤0时,f(x)单调递减,则在[-eq\f(π,2),-eq\f(π,6)]上单调递增,故选A.(10)下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )A.f(x)=sin2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx答案 B 解析 对于A,f(x)=sin2x的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,4),kπ+\f(π,4)))(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>eq\f(\r(3),3)或x<-eq\f(\r(3),3),∴函数f(x)=x3-x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(\r(3),3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),+∞))上单调递增;对于D,f′(x)=-1+eq\f(1,x)=-eq\f(x-1,x),令f′(x)>0,得00恒成立,∴f(x)在区间(4,5)上单调递增.2.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ) 2.答案 D 解析 设导函数y=f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3,由导函数y=f′(x)的图象易得当x∈(-∞,x1)∪(x2,x3)时,f′(x)<0;当x∈(x1,x2)∪(x3,+∞)时,f′(x)>0(其中x1<00,即函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;当0

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