专题01 导数的运算(原卷版)

2023-11-08 · U1 上传 · 3页 · 20.2 K

专题01 导数的运算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f′(x)=αxα-1f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=ax(a>0且a≠1)f′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logax(a>0且a≠1)f′(x)=eq\f(1,xlna)f(x)=lnxf′(x)=eq\f(1,x)2.导数运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有[cf(x)]′=cf′(x);[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′=eq\f(f′(x)g(x)-f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0);3.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则:先化简、再求导;具体方法:(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;(6)复合函数:由外向内,层层求导.【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数:(1)y=x2sinx;(2)y=eq\f(cosx,ex);(3)y=xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)));(4)y=ln(2x-5).[例2] (1)(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)=eq\f(ex,x+a).若f′(1)=eq\f(e,4),则a=________.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=2x2-3xf′(1)+lnx,则f(1)=.(3)已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2022(x)等于( )A.-sinx-cosx B.sinx-cosx C.-sinx+cosx D.sinx+cosx(4)(多选)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=lnx-2x C.f(x)=x3+2x-1 D.f(x)=xex(5)已知f(x)的导函数为f′(x),若满足xf′(x)-f(x)=x2+x,且f(1)≥1,则f(x)的解析式可能是( )A.x2-xlnx+x B.x2-xlnx-x C.x2+xlnx+x D.x2+2xlnx+x【对点训练】1.下列求导运算正确的是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))′=1+eq\f(1,x2) B.(log2x)′=eq\f(1,xln2) C.(5x)′=5xlog5x D.(x2cosx)′=-2xsinx2.函数y=xcosx-sinx的导数为( )A.xsinx B.-xsinx C.xcosx D.-xcosx3.(多选)下列求导运算正确的是( )A.(sina)′=cosa(a为常数) B.(sin2x)′=2cos2xC.(eq\r(x))′=eq\f(1,2\r(x)) D.(ex-lnx+2x2)′=ex-eq\f(1,x)+4x4.已知函数f(x)=eq\f(sinx,cosx)+eq\f(1,x2),则f′(x)=.5.已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x)(n∈N*),若f(x)=xsinx,则f2019(x)+f2021(x)=( )A.-2cosx B.-2sinx C.2cosx D.2sinx6.f(x)=x(2021+lnx),若f′(x0)=2022,则x0等于( )A.e2 B.1 C.ln2 D.e7.已知函数f(x)=eq\f(1,ax-1)+excosx,若f′(0)=-1,则a=.8.已知函数f(x)=ln(2x-3)+axe-x,若f′(2)=1,则a=.9.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于( )A.-2 B.2 C.-eq\f(9,4) D.eq\f(9,4)10.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)=________.11.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(lnx)=x+lnx,则f′(1)=.12.已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)·2x+x2,则f′(2)=( )A.eq\f(12-8ln2,1-2ln2) B.eq\f(2,1-2ln2) C.eq\f(4,1-2ln2) D.-213.(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=3cosx B.f(x)=x3+x C.f(x)=x+eq\f(1,x) D.f(x)=ex+x14.f(x)=eq\f(3,ex+1)+x3,其导函数为f′(x),则f(2020)+f(-2020)+f′(2019)-f′(-2019)的值为( )A.1 B.2 C.3 D.415.已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f′(2020)=6,则f′(-2020)=______.16.分别求下列函数的导数:(1)y=exlnx;(2)y=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2+\f(1,x)+\f(1,x3)));(3)y=x-sineq\f(x,2)coseq\f(x,2);(4)y=lneq\r(1+2x).(5)f(x)=eq\f(x3+2x-x2lnx-1,x2).

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