八个视角处理双变量导数压轴题（学生版）

八个视角处理双变量导数压轴题在高中数学中，导数算是难度天梯里排No.1的存在，在高考出题人的心中，导数算是一个超赞的存在，天生的守门员。但其实，现在同学们接触的只是导数世界的“皮毛”，真正的精髓还是要到大学中才会学习。导数大题是近年来高考的重点和热点问题，也是高考必考的板块之一，不管是简答题还是选择、填空都有涉及，也是拉分项。我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分地夸大。像导数、函数这样的大板块，同学们必须会解题。遇到一个问题应该认真分析题型与问题条件，反复思考结论，每步做到“言必有据，步步合理”不用题海战术，每个板块都能攻克了！今天给大家整理总结了高考导数大题的常见类型及求解策略方法，大家通做一遍，复习提分效果更佳！热点题型1构造偏导数2整体规划统一变量3比(差)值换元4同构性双变量5切线估计与剪刀差模型6不等式放缩7主元法8多项式拟合经典例题1.构造偏函数注：1.构造偏差函数的基本应用①.函数fx的极值点为x0；②.函数fx1=fx2，然后证明：x1+x2>2x0或x1+x2<2x0.2.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：①.构造一元差函数Fx=fx-f2x0-x或是Fx=fx+x0-fx0-x；②.对差函数Fx求导，判断单调性；③.结合F(x0)=0或F(0)=0，判断Fx的符号，从而确定fx与f2x0-x的大小关系；④.由fx1=fx2=fx0-x0-x2_____fx0+x0-x2=f2x0-x2的大小关系，得到fx1____f2x0-x2，(横线上为不等号)；x1+x2⑤.结合fx单调性得到x____2x-x，进而得到___x.102202xax例1.(2023届福建七市联考)已知函数f(x)=e-,a>0．2(1)讨论fx的极值点个数；e23e(2)若fx有两个极值点x,x，且x变量法x2例2.(2023届泉州一诊)．已知函数fx=ex-a+2x+a+3(1)讨论fx的单调性；2(2)若fx在0,2有两个极值点x1,x2，求证：fx1fx2<4e．a2例3.(2023届温州二模)已知函数fx=x-x-xlnxa∈R．2(1)若a=2，求方程fx=0的解；(2)若fx有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为x1,x2，求a的取值范围并证明fx1+fx21<．2e3.比(差)值代换消元例4.(2023届武汉二月调考)已知关于x的方程ax-lnx=0有两个不相等的正实根x1,x2，且x11，f(x)>0，求实数a的取值范围；1-4a2(2)设x,x是函数f(x)的两个极值点，证明：f(x)-f(x)<．1212a4.同构型双变量axlnx例6.已知函数f(x)=和g(x)=有相同的最大值.exax(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.5.切线估计与“剪刀差模型”注4.“剪刀模型”基本原理1.函数凸凹性：若函数f(x)在区间I上有定义，若f(x)≥0，则称f(x)为区间I上的凸函数.反之，称f(x)为区间I上的凹函数.2.切线不等式：f(x)在I上为凸函数，∀x0∈I，有f(x)≥f(x0)(x−x0)+f(x0).反之，若f(x)为区间I上的凹函数，则∀x0∈I，有f(x)≤f(x0)(x−x0)+f(x0).注：切线不等式是剪刀模型的理论依据.3.剪刀模型已知函数f(x)为定义域上的凸函数，且图象与y=m交于A,B两点，其横坐标为x1,x2，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与y=m的交点将x1,x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理.如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计.x例7.(2023届皖南八校联考)已知函数fx=3x-e+1，其中e=2.71828⋯是自然对数的底数.(1)设曲线y=fx与x轴正半轴相交于点Px0,0，曲线在点P处的切线为l，求证：曲线y=fx上的点都不在直线l的上方；3(2)若关于x的方程fx=m(m为正实数)有两个不等实根x,xxf(s)+f(t)．8.多项式拟合例10.(2021新高考1卷)已知函数fx=x1-lnx.(1)讨论fx的单调性；11(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+导数).121222ae2x3.已知函数fx=，a≠0.x(1)讨论函数fx的单调性；(2)若lnx-xfx≤lna恒成立，求实数a的取值范围.x24.已知函数fx=e+x,gx=ax+2x+1.1(1)当a=时，讨论函数Fx=fx-gx的单调性；2(2)当a<0时，求曲线y=fx与y=gx的公切线方程.a25.已知fx=x-a+2x+2lnx.2(1)讨论fx的单调性；a2(2)确定方程fx=x的实根个数.216.已知函数fx=a-3lnx-3ax-a∈R，ln3≈1.1.x(1)当a<0时，试讨论fx的单调性；(2)求使得fx≤0在0,+∞上恒成立的整数a的最小值；(3)若对任意a∈-4,-3，当x1,x2∈1,4时，均有m+ln4⋅a>fx1-fx2+3ln4成立，求实数m的取值范围.7.已知函数fx=lnx-2ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.x8.已知m>0，e是自然对数的底数，函数fx=e+m-mlnmx-m．2xx(1)若m=2，求函数Fx=e+-4x+2-fx的极值；2(2)是否存在实数m，∀x>1，都有fx≥0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．-xx9.已知函数fx=-lnx,gx=e-e.(1)若∃x∈0,1,gx>fa成立，求实数a的取值范围；2πx1-eπx01-e(2)证明：hx=fx+cos有且只有一个零点x0，且