导数不等式证明18种题型归类 （学生版）

导数不等式证明18种题型归类目录一、知识梳理与二级结论题型十：三角函数型极值点偏移不等式证明二、热考题型归纳题型十一：三个零点型不等式证明题型一：不等式证明基础题型十二：三个极值点型不等式证明题型二：三角函数型不等式证明题型十三：系数不一致型不等式证明题型三：数列“累加型”不等式证明题型十四：极值构造(利用第一问结论)题型四：双变量构造换元型不等式证明题型十五：先放缩型不等式证明题型五：同构型不等式证明题型十六：切线放缩型不等式证明题型六：双变量“比值代换”型不等式证明题型十七：利用韦达定理置换型不等式证明题型七：凸凹反转型不等式证明题型十八：泰勒展开型不等式证明题型八：极值点偏移型不等式证明三、高考真题对点练题型九：“极值型偏移”不等式证明四、最新模考题组练知识梳理与二级结论1.应用导数证明不等式基础思维：(1)直接构造函数法：证明不等式fx>gx(或fx0(或fx-gx<0)，进而构造辅助函数hx=fx-gx；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.x2.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：y=e在点0,1处的切线为y=x+1，如图所示，易知xx除切点0,1外，y=e图象上其余所有的点均在y=x+1的上方，故有e≥x+1．该结论可构造函数xfx=e-x-1并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．3.泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：·1·f(x)f(n)(x)f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+0(x-x)2+⋯+0(x-x)n+R(x)0002!0n!0n(n)其中：f(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩n余的R(n)(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式：23nn+1xxxxxxθx(1)e=1++++⋯++e，其中0<θ<1；1!2!3!n!n+1!23nn+1n+1xxn-1xnx1(2)ln1+x=x-+-⋯+-1+Rn，其中Rn=-1；2!3!n!n+1!1+θx352k-12k+1xxk-1xkx(3)sinx=x-+-⋯+-1+Rn，其中Rn=-1cosθx；3!5!2k-1!2k+1!242k-22kxxk-1xkx(4)cosx=1-+-⋯+-1+Rn，其中Rn=-1cosθx；2!4!2k-2!2k!12nn(5)=1+x+x+⋯+x+o(x)；1-xn(n-1)(6)(1+x)n=1+nx+x2+o(x2)；2!3x252n(7)tanx=x++x+⋅⋅⋅+ox；31511213n(8)1+x=1+x-x+x+⋅⋅⋅+ox．28165.麦克劳林(Maclaurin)公式f(0)f(n)(0)f(x)=f(0)+f(0)x+x2+⋯+xn+R(x)2!n!n虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.6.常见函数的麦克劳林展开式：2nθxxxxen+1(1)e=1+x++⋯++x2!n!(n+1)!352n+1xxnx2n+2(2)sinx=x-+-⋯+(-1)+o(x)3!5!(2n+1)!2462nxxxnx2n(3)cosx=1-+-+⋯+(-1)+o(x)2!4!6!(2n)!23n+1xxnxn+1(4)ln(1+x)=x-+-⋯+(-1)+o(x)23n+112nn(5)=1+x+x+⋯+x+o(x)1-xn(n-1)(6)(1+x)n=1+nx+x2+o(x2)2!7.两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)x-1(1)、对数型超越放缩：≤lnx≤x-1(x>0)x·2·x1(2)、指数型超越放缩：x+1≤e≤(x<1)1-x8.极值点偏移问题的一般题设形式：(1)若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2)若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；x+x(3)若函数f(x)存在两个零点x,x且x≠x，令x=12，求证：f'(x)>0；1212020x+x(4)若函数f(x)中存在x,x且x≠x满足f(x)=f(x)，令x=12，求证：f'(x)>0.121212020热点考题归纳题型一:不等式证明基础1已知函数fx=xlnx．(1)求曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程；2(2)求证：fx0．·3·2已知函数f(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数f(x)在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(2)若a=0且x∈(0，1)，求证：x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅ex.题型二:三角函数型不等式证明n+2n1(北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题)已知函数fx=x-xcosx(其中n∈Z)．π(1)若n=-1，判断函数fx在0,上的单调性；2(2)若n=1，判断函数fx零点个数，并说明理由；x(3)若n=0，求证：fx+2->0．ex-1·4·【变式演练】1(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题)sinx已知函数函数f(x)=.x(1)当x>0时，f(x)xlnx+sinx.题型三:数列“累加型”不等式证明11(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx=lnx-a1-.x(1)若fx≥0，求实数a的值；*111(2)已知n∈N且n≥2，求证：++⋅⋅⋅+1-,n∈N.2232n2n+1题型四:双变量构造换元型不等式证明1(2021·黑龙江·校联考模拟预测)已知f(x)=ex.(1)求关于x的函数g(x)=f(x)-4f(-x)-5x的单调区间；aba+be-e1ab(2)已知a>b，证明：≤e+e+4e2.a-b6·6·【变式演练】1271(2021·广东·统考一模)已知f(x)=lnx，g(x)=x+mx+(m<0)，直线l与函数f(x)、g(x)的22图象都相切，且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.(Ⅰ)求直线l的方程及m的值；(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值；b-a(Ⅲ)当0b，证明：ab+1>ba+1.题型六:双变量“比值代换型”不等式证明2(x-1)1(2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考三模)函数fx=lnx-x+1(1)求证：函数fx在(0,+∞)上单调递增；lnm-lnn2(2)若m,n为两个不等的正数,试比较与的大小,并证明.m-nm+n·8·【变式演练】1(2022·湖北黄冈·统考一模)已知函数fx=lnx-mx+m.(1)求函数fx的单调区间；(2)若fx≤0在x∈0,+∞上恒成立，求实数m的取值范围；fb-fa1(3)在(2)的条件下，对任意的0.x2·9·【变式演练】1(陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题)已知函数f(x)=lnx-x.a(1)讨论函数g(x)=f(x)-(a≠0,a∈R)的单调性；xlnx1(2)证明：f(x)>+.x2题型八:极值点偏移型不等式证明a1已知函数f(x)=lnx+.x(1)求f(x)的最小值；(2)若方程f(x)=0有两个根x1，x2(x12a.·10·【变式演练】121已知函数fx=lnx-ax+1.(1)讨论函数fx的单调性；2(2)当a=1时，设函数fx的两个零点为x1，x2，试证明：x1+x2>2.题型九:“极值型偏移”型不等式证明1(湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题)已知函数fx=alnx+123x，gx=x-a+2x+aa∈R.22(1)求函数fx的单调区间；7(2)若a>1，hx=fx+gx，x，x为hx的两个极值点，证明：hx+hx<.12112·11·【变式演练】1(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知函数fx=2x+alnx-3x-a,a>0.(1)当x≥1时，fx≥0，求a的取值范围.-12(2)若函数fx有两个极值点x1,x2，证明：x1+x2>2e.题型十:三角函数型极值点偏移不等式证明-x1(2022·河南郑州·校联考二模)已知函数fx=e⋅sinx，x∈0,π.(1)求函数fx的单调区间；π(2)若x≠x，且fx=fx，证明：x+x>.1212122·12·【变式演练】asinx1(2023·福建宁德·统考模拟预测)已知函数fx=,x∈0,π.ex(1)若fx≤1，求实数a的取值范围；ππ-x2(2)若a=4，且fx1=fx2,x1且