2023年数学九年级上册人教版专题02 一元二次方程的应用（解析版）（人教版）

专题02一元二次方程的应用传播问题1．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（    ）A． B．C．D．【答案】C【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得，即，故选：C．【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．2．为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，，解得：故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．3．若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染人．【答案】4【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有50人患了流感”列方程求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，依题意得，解得：或（不合题意，舍去）．所以，每轮传染中平均一个人传染了4个人．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．解增长率问题4．某农场去年种植西瓜5亩，总产量为．今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到．已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，则平均亩产量的增长率为．【答案】【分析】设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为，利用今年的总产量=今年的种植亩数×今年的平均亩产量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为，根据题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），∴平均亩产量的增长率为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的总营业额万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为（  ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据增长率分别表示出二月、三月的营业额即可求解．【详解】解：由题意得：二月的营业额为：三月的营业额为：故一月、二月、三月的总营业额为：故根据总营业额为万元，可列方程为：故选：D【点睛】本题考查增长率问题．分别表示出二月、三月的营业额是解题关键．6．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格元，由此等量关系列出方程即可．【详解】解：∵两次降价的百分率都是x，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．与几何有关问题7．如图(1)，C为线段上一点，和均为等腰直角三角形，点F沿从点B匀速运动到点D，连接，令，图(2)是随时间变化的关系图像，则的长为(    )  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意结合图1、图2可知，．设，根据等腰直角三角形的性质，可将未知与已知条件集中在中，利用勾股定理可解得x的值，从而使问题得解．【详解】连接．如下图．  根据题意结合图1、图2可知，．∵与均为等腰直角三角形，设，∴．在中，，即整理得：∴或（不合题意，舍去）即．∴【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、图标的分析等知识点，解题的关键是读懂图，推知的题设条件．8．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是．  【答案】【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．【详解】解：设小正方形的边长为，矩形的长为，宽为，由图1可得：，整理得：，，，，，矩形的面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键．9．如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.  (1)若设计人行通道的宽度为，则三块长方形绿地的面积共多少平方米?(2)若三块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．【答案】(1)三块的长方形绿地的面积共648平方米(2)人行通道的宽度为【分析】（1）根据题意得：三块长方形绿地的长为，宽为，可求得面积；（2）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为，宽为，根据题意得：，解方程可得．【详解】（1）解：答：三块的长方形绿地的面积共648平方米；（2）解：设人行通道的宽度为x米，由题意，得，化简，得，解得，（不符合题意，舍去）.答：人行通道的宽度为．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．销售利润问题10．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【答案】(1)25%；(2)5元【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为400件，由此等量关系列出方程求出x的值即可解答；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，再利用“销量每件商品的利润4250”列出方程求解即可．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%．（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：，解得：，（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意、找到等量关系列出方程是解题的关键．11．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：销售单价x（元）202530销售量y（件）200150100(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？【答案】(1)y与x之间的函数关系式为：(2)应将销售单价定为22元【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案．（2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可．【详解】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，根据题意可得：，解得：，故y与x之间的函数关系式为：；（2）解：根据题意可得：，整理得：，，解得：（不合题意，舍去），，答：应将销售单价定为22元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键．12．为庆祝“五四青年节”，某校计划购买与两种墙贴共400张来布置校园．已知墙贴的售价是每张16元，墙贴的售价是每张20元，共花费7040元．(1)求计划购买，墙贴各多少张？(2)为了节省费用，学校采购人员最终决定在网上购买，墙贴每张售价减少了，增贴每张售价便宜了元，实际购买墙贴的数量比原计划增加了张，总数量不变，总费用比原计划减少了2140元，求的值．【答案】(1)购买240张墙贴，购买160张墙贴；(2)5【分析】（1）设计划购买张墙贴，购买张墙贴，根据“共400张来布置校园，已知墙贴的售价是每张16元，墙贴的售价是每张20元，共花费7040元”列出方程组，即可求解；（2）根据题意可得墙贴的售价为（元），墙贴的张数为张，种墙贴的售价为元，种墙贴的张数为张，再由总费用比原计划减少了2140元，列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设计划购买张墙贴，购买张墙贴，由题意得，解得，答：计划购买240张墙贴，购买160张墙贴；（2）解：由题意得墙贴的售价为（元），墙贴的张数为张，种墙贴的售价为元，种墙贴的张数为张，由题意得，整理得，解得（舍去）或，∴的值为5．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．工程问题13．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)的值为10【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．14．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队