2023年数学九年级上册北师大版专题03 四边形中常见的几种模型(解析版)

专题03四边形中常见的几种模型中点四边形模型1．（2021秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．当AC＝BD时，它是轴对称图形D．当AC＝BD时，它是矩形【答案】C【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=AC，EH=FG=BD，可得四边形EFGH是平行四边形可判断A，根据平行四边形是中心对称图形，四边形EFGH是平行四边形是中心对称图形可判断B，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此可判断C，只有AD⊥BD时是矩形，当AC与BD不垂直时，不是矩形可判断D即可．【详解】解：连接AC，BD交于O，AC交GF于M，DB交EF于N，如图：∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，EF∥AC，GF∥DB，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；∵平行四边形是中心对称图形，∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是中心对称图形，故选项B错误；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，菱形是轴对称图形，∴菱形EFGH是轴对称图形，故选项C正确；只有AC⊥BD时∠MON=90°，∵GF∥DB，∴AC⊥GF，∴∠OMF=90°，∵EF∥AC，∴BD⊥EF，∴∠ONF=90°，∴∠NFM=360°-∠MON-∠OMF-∠ONF=90°，∴平行四边形GHEF是矩形，当AC与BD不垂直时，∵GF∥DB，EF∥AC，∴四边形ONFM为平行四边形，∠MFN=∠MON≠90°，即∠GFE≠90°，∴平行四边形GHEF不是矩形，故选项D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，轴对称识别，中心对称识别，矩形判定，三角形中位线性质解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．2．（2022秋·广东佛山·九年级统考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（ ）A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GFAC，GF=AC，同理可得IGBD，IG=BD，易求AC=BD，又由于GFAC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IGBD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．【详解】解：如图所示，四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，∵四边形EFGI是正方形，∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，又∵G、F是AD、CD中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GFAC，GF＝AC，同理有IGBD，IG＝BD，∴AC＝BD，即AC＝BD，∵GFAC，∠IGF＝90°，∴∠IHO＝90°，又∵IGBD，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．故选：D．【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．3．（2018春·江苏无锡·九年级校考期中）如图，已知E、F、G、H分别是矩形四边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形EFGH的周长为16cm，则矩形ABCD的对角线长等于cm．【答案】8【分析】连接AC、BD，根据矩形的性质可得AC＝BD，根据三角形中位线的性质可得HG＝EFAC，EH＝FGBD，根据四边形EFGH的周长为16cm列式求解即可．【详解】解：如图，连接AC、BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴HG＝EFAC，EH＝FGBD，∴四边形EFGH的周长等于HG+EF+EH+FG＝4AC＝16，则AC＝8cm．故答案为：8．【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是掌握三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【答案】（1）是平行四边形，理由见解析；（2）①AC=BD；证明见解析；②AC⊥BD．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论；（2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；②若四边形EFGH是矩形，则∠HGF=90°，即GH⊥GF，又GH∥AC，GF∥BD，则AC⊥BD．【详解】解：（1）是平行四边形．理由如下：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）①AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形；②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．理由如下：同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点睛】此题主要考查了中点四边形，熟练掌握三角形中位线定理及平行四边形、菱形及矩形的判定是解题的关键．“十字架”模型5．（2021春·安徽淮南·八年级校联考期中）数学活动：探究正方形中的十字架（1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：．（2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由．（3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为．【答案】（1）AE=BF；（2）HF=EG，证明见解析；（3）【分析】（1）利用AAS证明△ABF≌△DAE，即可得到结论；（2）过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N，利用ASA证明△HFN≌△EGM，即可得到结论；（3）连接NE，作NP⊥AD交AD于点P，根据折叠的性质，利用勾股定理就可以列出方程，从而解出DM的长，在Rt△EFN和Rt△NEC中，得到EF2+FN2=CE2+CN2，求出FN，再利用勾股定理即可求出MN．【详解】解：（1）AE=BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAF=∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB+∠DAE=90°，∴∠AED=∠AFB，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF=AE；（2）EG=HF，理由是：如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N，∵四边形ABCD是正方形，∴EM=HN，∵∠EPQ=90°，∴∠PEQ+∠PQE=90°，又EM∥BC，∴∠PQE=∠HFN，∴∠PEQ+∠HFN=90°，又∠HFN+∠FHN=90°，∴∠PEQ=∠FHN，在△HFN和△EGM中，，∴△HFN≌△EGM（ASA），∴HF=EG；（3）如图，连接NE，作NP⊥AD交AD于点P，由四边形ABCD是正方形及折叠知，FN=BN，EM=AM，EF=AB，∠EFN=∠B=90°，在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2，∵AB=BC=CD=DA=4，E为BC的中点，∴DE=2，∴DM2+22=（4-DM）2，解得DM=，在Rt△EFN中，EF2+FN2=EN2，在Rt△NEC中，CE2+CN2=EN2，∴EF2+FN2=CE2+CN2，∴42+FN2=22+（4-FN）2，解得，FN=，∴BN=AP=，∴MP=AD-DM-AP=4--=2，在Rt△MPN中，MN==．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换的问题，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．6．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）如图，在矩形的边上取一点，连接，使得，在边上取一点，使得，连接．过点作于．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)的长为【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形是平行四边形，再根据，即可得到结论；（2）根据矩形和菱形的性质证明，对应边成比例即可求出的长．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，即，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：四边形是矩形，，在Rt中，，，根据勾股定理得，，四边形是菱形，，，，，，，，，即，．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．对角互补模型7．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点．①试探究与的数量关系，并说明理由；②若，，求的长．【答案】(1)是；(2)①BE=DE，理由见解析；②14【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF=∠CBE，BF=BE，根据正方形的性质得∠ABC=∠D=90°，可得出∠EBF=∠D=90°，即可得出答案；（2）①过点C作CF⊥BE，首先证明四边形CDEF是矩形，则DE=CF，EF=CD=2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE=CF，AE=BF，等量代换即可得BE=DE；②设BE=x，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解．【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF=∠CBE，BF=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠ABE+∠ABF=90°，即∠EBF=∠D=90°，∴∠EBF+∠D=180°，∵∠EBF=90°，BF=BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①BE=DE，理由如下：如图3，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，         图3∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC，AD＞AB，∴∠ABC=90°，∠ABC+∠D=180°，∴∠D=90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF=90°，∠CFE=90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE=CF，EF=CD，∵∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠CBE=90°，∴∠A=∠CBF，∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵DE=CF，∴BE=DE；②如图3，∵四边形