2023年数学九年级上册北师大版专题13 反比例函数的应用(解析版)

专题13反比例函数的应用反比例函数与实际问题1．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期中）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积xmL和气体对汽缸壁所产生的压强ykPa存在一定的函数关系，如下表，则当气缸内气体的体积压缩到90mL时，压力表读出的压强值a最接近（    ）体积x（mL）10090805040压强y（kPa）60a75120150A．65 B．67 C．69 D．70【答案】B【分析】由，可得是的反比例函数，再利用反比例函数的性质可得答案.【详解】解：由表格信息可得：，∴缸内气体的体积xmL和气体对汽缸壁所产生的压强ykPa存在的函数关系为：，当时，，故选B.【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，根据表格信息判断是的反比例函数是解本题的关键.2．（2018秋·北京·九年级统考期中）已知蓄电池的电压为定值．使用蓄电池时，测出每一组电流（单位：）和电阻（单位：），如下表，发现电流是关于电阻的函数，则电流与电阻之间的函数关系式是．电阻（单位：）电流（单位：）【答案】【详解】由表格得，即．3．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是．【答案】y=【详解】由题意可设：，∵当时，，∴，∴与间的函数关系式为：.4．（2021秋·广东佛山·九年级佛山市华英学校校考期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．(1)求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值；(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【答案】(1)，A点对应的指标值为；(2)不能，理由见解析【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值；（2）由图知学生的注意力指标最高为15，由此解答即可．【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为，由图知，反比例函数过点，代入解析式得，解得，∴反比例函数的关系式为，当时，，则A点对应的指标值为；（2）解：不能，理由如下：由图知学生的注意力指标最高为15，故注意力指标达不到36．【点睛】本题主要考查了函数图像的应用，一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识．反比例函数与几何综合5．（2022秋·山东东营·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）  A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22【答案】D【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可．【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，∴PQ＝PM+MQ＝．∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴ab＝8．∵S△POQ＝15，∴PQ•OM＝15，∴a（b﹣）＝15．∴ab﹣k＝30．∴8﹣k＝30，解得：k＝﹣22．故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．6．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市庐阳中学校考期中）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】过点C作CE⊥y轴于E，点A的坐标为，，求出OB，得到点B坐标，证明和全等，得点C坐标，代入，求出k，得解析式；【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中，∵，∴．∵，∴，∵点A的坐标为，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∴点C的坐标为，∵反比例函数的图象过点C，∴，∴反比例函数的表达式为，故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．7．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段的中点，又D点在x轴上，且，则的面积为．【答案】6【分析】设，则有，，根据函数解析式可知，再根据三角形的面积公式求解．【详解】设，∵，∴，，由反比例函数可知：，∵B为线段的中点，，∴，，∴．故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系，反比例函数的系数与图象面积的关系．关键是明确线段之间的关系．8.（2022春·重庆梁平·九年级校联考期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数y的图象交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标：(3)对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为(2)(3)或x>0．【分析】（1）把点代入反比例函数解析式求解k，然后再求出点A的坐标，进而可求一次函数解析式；（2）由（1）可得点C、D的坐标，然后可得△BOD的面积，设点，进而根据面积公式可进行求解；（3）根据图象可直接进行求解．【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式得：，∴反比例函数解析式为，把点代入得：，解得：，∴点，∴，解得：，∴一次函数解析式为；（2）解：如图所示：∵一次函数解析式为，∴，∴，∵△BOD的高为点B横坐标的绝对值，∴，设点，∴△COP的高为，∴，∵，∴，解得：，∴点；（3）解：∵k=-3，∴在每一象限内，y随x的增大而增大，由图象可得：当时，x的取值范围为或x>0．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．反比例函数与一次函数综合判断9.（2022秋·广东深圳·九年级北大附中深圳南山分校校考期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的大致图象可能是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，判断图象经过的象限即可得出结果．【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意；时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意．故选：A．【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图象判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．10.（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是．【答案】【分析】根据反比例函数与一次函数的图象性质分析判断即可；【详解】观察图象可知，当时，则的取值范围是，；故答案是，．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．11.（2021秋·重庆·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．（1）函数的自变量x的取值范围是_____；（2）函数列表如下，其中________，__________；x…02345…y…m175n…（3）在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：________；（4）请结合函数图象，直接写出不等式的解集_____________．【答案】（1）x≠1；（2）2，4；（3）图象见解析，当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）0≤x＜1或x≥3【分析】（1）由分母不为零可求；（2）将x=-1、x=3分别时代入y=+3即可；（3）描点，连线画出该函数的图象，结合图象可得函数的性质；（4）根据图象即可求得．【详解】解：（1）∵x-1≠0，∴x≠1，故答案为：x≠1；（2）当x=-1时，y=+3=+3=2，当x=3时，y=+3=+3=4，∴m=2，n=4，故答案为：2，4；（3）描点，连线画出该函数的图象如图所示：观察图象，可知：当x＞1时，y随x的增大而减小．故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）由图象可得，不等式+3≤x+1的解集为0≤x＜1或x≥3，故答案为：0≤x＜1或x≥3．【点睛】本题考查反比例函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键．反比例函数与一次函数交点问题12.（2019秋·山东济南·九年级统考期中）在同一直角坐标平面内，如果与没有交点，那么和的关系一定是（ ）A． B． C．和同号 D．和异号【答案】D【分析】如果直线与没有交点，则无解，据此求解即可．【详解】解：∵直线与没有交点，∴无解，∴无解，∴，即和异号．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，将交点问题转化为方程的解是解答本题的关键．13．（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）如图，已知是关于x的一次函数，是关于x的反比例函数，直接写出的解集为（    ）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】不等式的解集就是一次函数值小于反比例函数值的自变量的取值范围，从图象上看一次函数图象位于反比例函数图象下方的自变量的取值范围，从而可得答案．【详解】解：不等式的解集就是一次函数值小于反比例函数值的自变量的取值范围，，观察图象可得：或，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质、一次函数与反比例函数的交点坐标与不等式的关系，数形结合在这里得到充分体现．14．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，若点的纵坐标分别为，则的值为．【答案】【分析】根据正比例函数与反比例函数的对称性即可得到点关于原点对称，从而求得，得出答案．【详解】解：直线与双曲线交于两点，点关于原点对称，，．故答案为：0．【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图象和性质．掌握正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称是解题关键．15．（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的两点，过点作轴的垂线交的延长线于点．若，则的值为．【答案】2【分析】求出的表达式，根据垂直于y轴，求出点C坐标，再根据的面积，列式求出，再将点代入，从而求出k值．【详解】解：设的表达式为，将代入，得：，解得：，∴的表达式为，∵过点作轴的垂线交的延长线于点，∴令，则，即，∴，∴，∵在上，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题，一次函数，解题的关键是算出点的坐标，表示出的面积．16．（2023春·广西钦州·九年级校考期中）如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点A的坐标为．(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；(2)点在轴上，当时，求点的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；(2)点的坐标为或．【分析】（1）分别把点A的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可；（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标，再求得直线与y轴的交点坐标，然后利用坐标与图形性质求解即可．【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点，∴，，解得，，∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；（2）解：联立，解得，，所以，点B的坐标为，令，则，即直线与y轴的交点为，设