2023年数学九年级上册北师大版专题01 特殊四边形的性质与判定（解析版）

专题01特殊四边形的性质与判定菱形的性质1．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．2．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若菱形的周长为，，则（    ）cm．A． B． C． D．28【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出，，然后根据勾股定理求出，从而求出，最后根据三角形中位线定理即可求出．【详解】解∶∵菱形的周长为，，∴，，，，∴，∴，又、分别是、边上的中点，∴．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理是解题的关键．3．（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16cm．BD＝12cm，则菱形边AB上的高，DH的长是cm．【答案】9.6/【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出AB的长，再根据菱形面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16cm，BD=12cm，∴AC⊥BD，，在Rt△AOB中，由勾股定理得，∵，∴，故答案为：9.6．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．4．（2023春·山东济南·九年级校考期中）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点，∴，．∵，∴，即．在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明．菱形的判定5．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，下列条件中能使成为菱形的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据菱形的判定定理可得．【详解】解：A、AB=CD不能判定▱ABCD是菱形，故不符合题意；B、AC=BD只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；C、∠BAD=90°只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；D、AB=BC能判定▱ABCD是菱形，故符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．6．（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（    ）  A．△AOB是等边三角形 B．PE=PFC．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形【答案】D【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D．【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意；由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL)，故选项C成立，不符合题意；∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定．7．（2022秋·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．(1)求证：四边形BDCE为菱形；(2)连接DE，若，，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可．（2）连接DE，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形为平行四边形．∵，BD为AC边上的中线，∴，∴四边形为菱形．（2）解：连接DE交BC于O点，如图．∵四边形为菱形，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键．菱形的性质与判定的综合运用8．（2020春·浙江杭州·九年级期中）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（ ）A．2 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】连接FG，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE＝AF，BF＝BG，进而可证△AEF是等边三角形及△BFG是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF和FG的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG的长．【详解】解：连接FG，过点B作BH⊥FG于H，如图，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，∵点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，∴AE＝AF=1，BF＝BG，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，EF=AF=1∵BF＝BG，∴△BFG是等腰三角形，∴∠GFB＝=30°，∴∠EFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF＝4﹣1＝3，∴BH=，FH=，∴FG＝2FH=3，∴EG＝，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．9．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（ ）A． B．四边形面积不变C． D．四边形周长不变【答案】A【分析】两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，即可．【详解】解∶设两张等宽的纸条的宽为h，∵纸条的对边平行，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴，∴四边形是菱形，∴，故A选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；∵在旋转的过程中，在变化，∴四边形面积和周长也在变化，故B、D选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，学握菱形的性质是解题的关键．10．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第三中学校考期中）如图，中，，D、E分别是边、的中点．将绕点E旋转180度，得．（1）判断四边形的形状，并证明；（2）已知，，求四边形的面积S．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）7【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，根据旋转的性质，，可证明四边形是平行四边形，再根据，D、E分别是边、的中点，可知，所以四边形是菱形；（2）由（1）得菱形的对角线互相垂直平分，再根据，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根据菱形的面积求解公式计算即可；【详解】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：∵D、E分别是边、的中点，∴，又∵绕点E旋转180度后得，∴，∴，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵，∴，∴四边形ABCD是菱形．（2）如图，连接AD、BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD与BF相互垂直且平分，又∵，∴，令，，在Rt△ABO中，，∴,即，解得：，，即由图可知，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质综合应用，准确理解中位线定理和旋转性质是解题的关键．矩形的性质11．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，是矩形的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线交于点M，交于点N，若，，则边的长为（    ）A．6 B．10 C． D．【答案】D【分析】如图，连接CM，利用垂直平分线与勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接CM．由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴MA＝MC＝8，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴CD＝，∴AB=CD=，故选D．【点睛】本题考查作图−基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2021秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若，．则图中阴影部分的面积为．【答案】10【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5，∴S阴=5+5=10，故答案为10．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．13．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）先根据矩形的性质可得，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；（2）设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理求出的值，然后根据菱形的面积公式即可得．【详解】（1）证明：四边形是矩形，∴，，，∵O为矩形的对角线的中点，∴，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形．（2）解：四边形是矩形，，设菱形的边长为，则，，，在中，，即，解得，，则四边形的面积为．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．矩形的判定14．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校联考期中）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（    ）A．测量四边形画框的两个角是否为B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等【答案】B【分析】按照有一个角是直角是平行四边形是矩形，有三个角是直角是四边形是矩形，两条对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析判定．【详解】A.测量四边形画框的两个角是否为，∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴此测量方法不可行，不合题意；B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，∴此测量方法可行，符合题意；C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴此测量方法不可行，不合题意；D.测量四边形画框的的四边是否相等，∵四边相等的四边形可能是菱形，不是矩形，∴此测量方法不可行，不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解决问题的关键是熟练掌握矩形的定义和判定定理．15．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（    ）A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2【答案】A【分析】根据菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质逐项判断即可得．【详解】解：A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加能判定是菱形，不一定是矩形，则此项符合题意；B、由有一个角是直角的平行四边形是