2023年数学九年级上册北师大版专题09 相似三角形（解析版）

专题09相似三角形相似三角形的判定1．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列三角形中与一定相似的是（  ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分线的性质结合相似三角形的判定方法得出,进而得出，即可得出．【详解】∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故选:．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是要识别两三角形相似，掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．2.（2021秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有种情况．【答案】3【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【详解】①当∠ACP=∠B，∵∠A=∠A，∴，∴①符合题意；②当∠APC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴，∴②符合题意；③当，即，∵∠A=∠A∴，∴③符合题意；④∵当，即，而∠PAC=∠CAB，以上条件不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；即有①②③这三种情况可得出，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．3.（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．【答案】见解析【分析】根据“两条边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”即可求证．【详解】证明：∵，又∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟记相关判定定理是解题的关键．相似三角形的性质4.（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（    ）A．4 B．3 C．6 D．【答案】A【分析】因为点是的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，可知点为的中点，，根据，可得，进而证得，从而得到，代入数值即可求解．【详解】解：如图，连接并延长交于点．点是的重心，点为的中点，，，，，，，，（公共角），∴，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．5.（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积比为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可【详解】解：∵，和分别是和的高，，，∴和的相似比为，∴与的面积比为，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．6.（2019·山东菏泽·九年级校联考期中）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=．【答案】3:2【详解】因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为:3:2.7.（2022秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．(1)直接写出___________，___________(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．【答案】(1)2，3(2)【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）解：，因式分解，得，解得或，的值是关于的一元二次方程的两个根，且，，故答案为：2，3．（2）解：由（1）可知，，，，，，，解得，又，且点在轴上，．【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．相似三角形的性质与判定的综合运用8.（2019秋·上海青浦·九年级校考期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知其中，，则以下结论中，正确的是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，即可判断；设，根据直角三角形的性质和勾股定理分别表示出，，的长，即可判断，，．【详解】解：，，，又，，，故错误；设，则，，，，故错误，正确；，，故错误．故选：．【点睛】本题考查了平行线性质，三角板中的角度计算问题，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．9．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，由“”可证，可得，，利用勾股定理分别求出，的长，即可求解．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，，，，设，，，，，，，，，在和中，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．10（2019秋·上海青浦·九年级校考期中）已知：如图，在中，点，分别在，上，，．  (1)写出图中所有与相似的三角形(2)如果，，的面积为，求面积．【答案】(1)和(2)【分析】（1）根据相似三角形的判定可直接得出结论；（2）根据条件可知，，所以，分别设出的面积为，则的面积为，建立方程，求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，，图中与相似的三角形有和；（2），，，，设的面积为，则的面积为，，解得：，的面积为．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟知相关性质是解题关键．相似三角形的应用11.（2021秋·山东济南·九年级统考期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【详解】∵，，∴又∵，∴，∴即解得故选D．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．12．（2020春·江苏无锡·九年级校考期中）如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（   ）A． B．8 C． D．10【答案】B【分析】过作垂足分别为由角平分线的性质可得：利用，可以求得进而求得，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：如图，过作垂足分别为平分，设，，（负根舍去）故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．13.（2021·四川成都·九年级成都铁路中学校考期中）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面，竹杆顶端离地面，小明到竹杆的距离，竹杆到塔底的距离，求这座古塔的高度．【答案】古塔的高度是米．【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB可知，BH=DG=EF=1.6m，再小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．【详解】∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB，∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m，∴，即，解得AH=14m，∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m，答：古塔的高度是15.6米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．位似图形及性质14（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（    ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．∴它们的位似中心是．故选：A．【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（ ）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】B【分析】根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可．【详解】∵，∴，∵四边形与四边形是位似图形，∴四边形四边形，，∴，∴，∴四边形的周长：四边形的周长，∵四边形的周长是2，∴四边形的周长为6，故选B．【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．16.（2020秋·四川成都·九年级树德中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．(1)请画出沿x轴方向，向左平移7个单位长度后得到的．(2)以原点O为位似中心，在y轴另一侧画出，使缩小为的．(3)写出和的坐标（______）（______）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，【分析】（1）将、、三点分别向左平移7个单位即可得到；（2）连接、，分别取、、的中点即可画出；（3）根据图中点的坐标即可得出答案．【详解】（1）如图所示，即为所求，（2）以原点O为位似中心，连接、，分别取、、的中点即可在y轴另一侧画出，如图，（3）由图可知：，．【点睛】本题考查了平移变换以及位似变换等知识，正确得出对应点位置是解题的关键．17．（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．  (1)以原点为位似中心，在点另一侧画，使它与位似，且相似比为；(2)若四边形是矩形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）分别打标A，B，C的位似对应点，，，再顺次连接即可；（2）先根据位似图形的性质求解，，结合四边形是矩形与平移的性质，可得答案．【详解】（1）解：如图，即为所求．  ．（2）∵，，与位似，且相似比为，且图形在原点两旁；∴，，∵四边形是矩形，由平移的性质可得：．【点睛】本题考查的是在坐标系内画位似图形，位似图形的性质，矩形的性质，熟练的掌握位似图形的性质并进行画图是解本题的关键．一、单选题1．（2022春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似三角形的判定一次判断即可求解．【详解】解：，，A、若，且，可判定，故选项A不符合题意；B、若，且，无法判定，故选项B符合题意；C、若，且，可判定，故选项C不符合题意；D、若，且，可判定，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练的运用相似三角形的判定是本题的关键．2．（2017秋·福建泉州·九年级统考期中）如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（    ）A．2 B．5 C．2 D．10【答案】B【详解】试题解析：从图中可以看出△ABC的三边分别是2，，，要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是，所以这两，相似三角形的相似比是：5=：5，△ABC的面积为2×1÷2=1，所以△DEF的