2023年数学九年级上册北师大版专题09 相似三角形(解析版)

2023-11-10 · U1 上传 · 33页 · 1.8 M

专题09相似三角形相似三角形的判定1.(2022秋·上海奉贤·九年级校考期中)已知是中的边上的一点,,的平分线交边于,交于,那么下列三角形中与一定相似的是(  )  A. B. C. D.【答案】C【分析】利用角平分线的性质结合相似三角形的判定方法得出,进而得出,即可得出.【详解】∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,故选:.【点睛】此题考查了相似三角形的判定,解题的关键是要识别两三角形相似,掌握定义外,还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角.2.(2021秋·陕西西安·九年级统考期中)如图,在△ABC中,P为AB上的一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB,添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有种情况.【答案】3【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断.【详解】①当∠ACP=∠B,∵∠A=∠A,∴,∴①符合题意;②当∠APC=∠ACB,∵∠A=∠A,∴,∴②符合题意;③当,即,∵∠A=∠A∴,∴③符合题意;④∵当,即,而∠PAC=∠CAB,以上条件不能判断△APC和△ACB相似,∴④不符合题意;即有①②③这三种情况可得出,故答案为:3.【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.3.(2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中)已知如图,D,E分别是的边上的点,.求证:.【答案】见解析【分析】根据“两条边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似”即可求证.【详解】证明:∵,又∵,∴.【点睛】本题考查相似三角形的判定.熟记相关判定定理是解题的关键.相似三角形的性质4.(2023春·福建泉州·九年级校联考期中)如图,在中,,点是的重心,,垂足为,若,则线段的长度为(    )A.4 B.3 C.6 D.【答案】A【分析】因为点是的重心,根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是,可知点为的中点,,根据,可得,进而证得,从而得到,代入数值即可求解.【详解】解:如图,连接并延长交于点.点是的重心,点为的中点,,,,,,,,(公共角),∴,,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形的重心的定义及其性质,熟练运用三角形重心的性质是解题的关键.5.(2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中)如图,,和分别是和的高,若,,则与的面积比为(    )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可【详解】解:∵,和分别是和的高,,,∴和的相似比为,∴与的面积比为,故选A.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键.6.(2019·山东菏泽·九年级校联考期中)如图,点D、E、F分别位于△ABC的三边上,满足DE∥BC,EF∥AB,如果AD:DB=3:2,那么BF:FC=.【答案】3:2【详解】因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为:3:2.7.(2022秋·陕西西安·九年级统考期中)如图,在平面直角坐标系中,已知,点A的坐标为,点B的坐标为.若a,b的值是关于x的一元二次方程的两个根,且.(1)直接写出___________,___________(2)若点P在y轴上,且,求点P的坐标.【答案】(1)2,3(2)【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可得;(2)先求出的长,再根据相似三角形的性质即可得.【详解】(1)解:,因式分解,得,解得或,的值是关于的一元二次方程的两个根,且,,故答案为:2,3.(2)解:由(1)可知,,,,,,,解得,又,且点在轴上,.【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.相似三角形的性质与判定的综合运用8.(2019秋·上海青浦·九年级校考期中)将一副三角板按如图所示的方式摆放,已知其中,,则以下结论中,正确的是(    )  A. B. C. D.【答案】C【分析】由可得,即可判断;设,根据直角三角形的性质和勾股定理分别表示出,,的长,即可判断,,.【详解】解:,,,又,,,故错误;设,则,,,,故错误,正确;,,故错误.故选:.【点睛】本题考查了平行线性质,三角板中的角度计算问题,相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,熟练掌握相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键.9.(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图,在中,,以,为边分别向外作正方形和正方形,交于点,交于点.若,则(    )A. B. C. D.【答案】D【分析】设,,由“”可证,可得,,利用勾股定理分别求出,的长,即可求解.【详解】解:如图,过点作,交的延长线于点,交的延长线于点,,,,设,,,,,,,,,在和中,,,,,,.故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.10(2019秋·上海青浦·九年级校考期中)已知:如图,在中,点,分别在,上,,.  (1)写出图中所有与相似的三角形(2)如果,,的面积为,求面积.【答案】(1)和(2)【分析】(1)根据相似三角形的判定可直接得出结论;(2)根据条件可知,,所以,分别设出的面积为,则的面积为,建立方程,求解即可.【详解】(1)解:,,,,,,,图中与相似的三角形有和;(2),,,,设的面积为,则的面积为,,解得:,的面积为.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定,相似三角形的面积比等于相似比的平方,熟知相关性质是解题关键.相似三角形的应用11.(2021秋·山东济南·九年级统考期中)如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取B,C,D三点,使得,,点E在上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得,,,则河的宽度为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】求出和相似,根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.【详解】∵,,∴又∵,∴,∴即解得故选D.【点睛】考查相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.12.(2020春·江苏无锡·九年级校考期中)如图,AC⊥BC,,D是AC上一点,连接BD,与∠ACB的平分线交于点E,连接AE,若,,则BC=(   )A. B.8 C. D.10【答案】B【分析】过作垂足分别为由角平分线的性质可得:利用,可以求得进而求得,利用面积公式列方程求解即可.【详解】解:如图,过作垂足分别为平分,设,,(负根舍去)故选:B.【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质,等高的两个三角形的面积与底边之间的关系,一元二次方程的解法,掌握相关知识点是解题关键.13.(2021·四川成都·九年级成都铁路中学校考期中)如图,小明欲测量一座古塔的高度,他拿出一根竹杆竖直插在地面上,然后自己退后,使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶,若小明眼睛离地面,竹杆顶端离地面,小明到竹杆的距离,竹杆到塔底的距离,求这座古塔的高度.【答案】古塔的高度是米.【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直,EH⊥AB可知,BH=DG=EF=1.6m,再小明眼睛离地面1.6m,竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长,由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA,再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长,进而得出AB的长.【详解】∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直,EH⊥AB,∴BH=DG=EF=1.6m,EG=DF,GH=DB,∵小明眼睛离地面1.6m,竹杆顶端离地面2.4m,∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m,∵CD∥AB,∴△EGC∽△EHA,DF=2m,DB=33m,∴,即,解得AH=14m,∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m,答:古塔的高度是15.6米.【点睛】本题考查的是相似三角形的应用,先根据题意得出相似三角形,再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键.位似图形及性质14(2022秋·福建泉州·九年级校考期中)如图,在的方格中,点A,B,C,D在格点上,线段CD是由线段AB位似放大得到,则它们的位似中心是(    )A.点 B.点 C.点 D.点【答案】A【分析】连接CA,DB,并延长,则交点即为它们的位似中心.继而求得答案.【详解】解:∵如图,连接CA,DB,并延长,则交点即为它们的位似中心.∴它们的位似中心是.故选:A.【点睛】此题考查了位似变换.注意根据位似图形的性质求解是关键.15.(2022秋·江苏扬州·九年级统考期中)如图,以点O为位似中心,作四边形的位似图形,已知,若四边形的周长是2,则四边形的周长是( )A.4 B.6 C.16 D.18【答案】B【分析】根据位似的性质,得到,推出,进而求出四边形与四边形的相似比,利用周长比等于相似比,进行求解即可.【详解】∵,∴,∵四边形与四边形是位似图形,∴四边形四边形,,∴,∴,∴四边形的周长:四边形的周长,∵四边形的周长是2,∴四边形的周长为6,故选B.【点睛】本题考查位似图形,相似三角形的判定和性质.熟练掌握位似图形的性质,证明三角形相似,是解题的关键.16.(2020秋·四川成都·九年级树德中学校考期中)如图,在平面直角坐标系中,已知三个顶点的坐标分别是,,.(1)请画出沿x轴方向,向左平移7个单位长度后得到的.(2)以原点O为位似中心,在y轴另一侧画出,使缩小为的.(3)写出和的坐标(______)(______).【答案】(1)见解析(2)见解析(3),【分析】(1)将、、三点分别向左平移7个单位即可得到;(2)连接、,分别取、、的中点即可画出;(3)根据图中点的坐标即可得出答案.【详解】(1)如图所示,即为所求,(2)以原点O为位似中心,连接、,分别取、、的中点即可在y轴另一侧画出,如图,(3)由图可知:,.【点睛】本题考查了平移变换以及位似变换等知识,正确得出对应点位置是解题的关键.17.(2022秋·陕西西安·九年级校联考期中)如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别是,,.  (1)以原点为位似中心,在点另一侧画,使它与位似,且相似比为;(2)若四边形是矩形,请直接写出点的坐标.【答案】(1)见解析(2),【分析】(1)分别打标A,B,C的位似对应点,,,再顺次连接即可;(2)先根据位似图形的性质求解,,结合四边形是矩形与平移的性质,可得答案.【详解】(1)解:如图,即为所求.  .(2)∵,,与位似,且相似比为,且图形在原点两旁;∴,,∵四边形是矩形,由平移的性质可得:.【点睛】本题考查的是在坐标系内画位似图形,位似图形的性质,矩形的性质,熟练的掌握位似图形的性质并进行画图是解本题的关键.一、单选题1.(2022春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中)如图,已知,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定的是(    )A. B. C. D.【答案】B【分析】利用相似三角形的判定一次判断即可求解.【详解】解:,,A、若,且,可判定,故选项A不符合题意;B、若,且,无法判定,故选项B符合题意;C、若,且,可判定,故选项C不符合题意;D、若,且,可判定,故选项D不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练的运用相似三角形的判定是本题的关键.2.(2017秋·福建泉州·九年级统考期中)如图,在5×5的正方形方格中,△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,作一个与△ABC相似的△DEF,使它的三个顶点都在小正方形的顶点上,则△DEF的最大面积是(    )A.2 B.5 C.2 D.10【答案】B【详解】试题解析:从图中可以看出△ABC的三边分别是2,,,要让△ABC的相似三角形最大,就要让DF为网格最大的对角线,即是,所以这两,相似三角形的相似比是:5=:5,△ABC的面积为2×1÷2=1,所以△DEF的

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