2023年数学九年级上册北师大版专题10 相似三角形常见模型(解析版)

2023-11-10 · U1 上传 · 45页 · 2 M

专题10相似三角形常见模型“A”字模型1.(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中)如图,P为的边上的一点,E,F分别为,的中点,,,的面积分别为S,S1,S2.若,则的值是( )  A.24 B.12 C.6 D.10【答案】B【分析】过P作平行于,由与平行,得到平行于,可得出四边形与都为平行四边形,进而确定出与面积相等,与面积相等,再由为的中位线,利用中位线定理得到为的一半,且平行于,得出与相似,相似比为1:2,面积之比为1:4,求出的面积,而面积=面积+面积,即为面积+面积,即为平行四边形面积的一半,即可求出所求的面积.【详解】解:过P作交BC于点Q,由,得到,  ∴四边形与四边形都为平行四边形,∴,,∴,,∵为的中位线,∴,,∴,且相似比为1:2,∴,,∴,故选:B.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.2.(2022秋·四川成都·九年级校考期中)如图,是内一点,过点分别作直线平行于各边,形成三个小三角形面积分别为,则【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似,再由它们的面积比得出相似比,再求出最小三角形的边与最大三角形边的比,从而得到它们的面积的比,求出结果即可.【详解】解:过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E,过P作AB的平行线交AB于点I、G,过P作AC的平行线交AC于点F、H,∵DE//BC,IG//AB,FH//AC,∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形,△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC,∵,∴FP:IE:PH=1:2:3,∴AI:IE:EC=1:2:3,∴AI:IE:EC:AB=1:2:3:6,S△ABC:S△FDP=36:1,∴S△ABC=36×3=108.故答案为:108.【点睛】本题考查相似三角形的性质,相似三角形面积比等于相似比的平方.3.(2021秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中)图,,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理,由,可证△CGH∽△CAB,由性质得出,由,可证△BGH∽△BDC,由性质得出,将两个式子相加,即可求出GH的长.【详解】解:∵,∴∠A=∠HGC,∠ABC=∠GHC,∴△CGH∽△CAB,∴,∵,∴∠D=∠HGB,∠DCB=∠GHB,△BGH∽△BDC,∴,∴,∵AB=2,CD=3,∴,解得:GH=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行线性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.“8”字模型4.(2022秋·九年级单元测试)如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,连接AC,BE交于点F.若△AEF的面积为2,则△ABC的面积为()A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【分析】先利用平行四边形的性质得,AD=BC,由可判断△AEF∽△CBF,根据相似三角形的性质得,然后根据三角形面积公式得,则.【详解】∵平行四边形ABCD∴,AD=BC∵E为边AD的中点∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如图,过点F作FH⊥AD于点H,FG⊥BC于点G,则,∴,∵△AEF的面积为2∴故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于同步基础题.5.(2023·全国·九年级专题练习)如图,,,分别交于点G,H,则下列结论中错误的是(    )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定,进行逐一判断即可.【详解】解:∵AB∥CD,∴,∴A选项正确,不符合题目要求;∵AE∥DF,∴∠CGE=∠CHD,∠CEG=∠D,∴△CEG∽△CDH,∴,∴,∵AB∥CD,∴,∴,∴,∴,∴B选项正确,不符合题目要求;∵AB∥CD,AE∥DF,∴四边形AEDF是平行四边形,∴AF=DE,∵AE∥DF,∴,∴;∴C选项正确,不符合题目要求;∵AE∥DF,∴△BFH∽△BAG,∴,∵AB>FA,∴∴D选项不正确,符合题目要求.故选D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的应用,能根据定理得出比例式是解此题的关键.6.(2022秋·北京房山·九年级统考期中)如图,AD与BC交于O点,,,,,求CD的长.【答案】1.5【分析】由,可得出,利用相似三角形的性质可得出,代入,,,即可求出CD的长.【详解】解:∵AD与BC交于O点,∴.∵,∴.∴.∵,,,∴.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式.7.(2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中)如图,在中,于,于,试说明:(1)(2)【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)直接根据相似三角形的判定证明即可;(2)首先根据相似三角形的性质得出,进而证明△ADE∽△ACB,最后根据相似三角形的性质即可证明.【详解】解:(1)∵CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,∴∠AEB=∠ADC=90°,在△ABE和△ACD中∴△ABE∽△ACD;(2)∵△ABE∽△ACD,∴.在△ADE和△ACB中,∴△ADE∽△ACB∴∴AD·BC=DE·AC.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.“母子型”相似模型8.(2022·江苏·九年级专题练习)如图,中,点在边上,且,若,,则的长为.【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A,即可得出△ABC∽△ACD,根据相似三角形的性质可得出,代入AC、AD的值可求出AB的长,再根据BD=AB-AD即可求出结论.【详解】解:∵∠ACD=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD,∴.∵AC=,AD=1,∴,∴AB=3,∴BD=AB-AD=3-1=2.故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形的判定定理是解题的关键.9.(2023春·山东威海·九年级校联考期中)如图,中,点在上,,若,,则线段的长为.【答案】【分析】延长到,使,连接,可得等腰和等腰,,再证明,利用相似三角形对应边成比例即可求出.【详解】解:如图所示,延长到,使,连接,∴∵,,∴,∴,∴,即,解得:,故答案为:.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质,利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键.10(2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中)如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,且AC=,CD=4,BD=2,求证:△ACD∽△BCA.【答案】证明见解析.【分析】根据AC=,CD=4,BD=2,可得,根据∠C=∠C,即可证明结论.【详解】解:∵AC=,CD=4,BD=2∴,∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定,掌握知识点是解题关键.旋转相似模型11.(2021·江苏无锡·九年级校考期中)如图,边长为10的等边中,点在边上,且,将含30°角的直角三角板()绕直角顶点旋转,、分别交边、于、.连接,当时,长为(    )A.6 B. C.10 D.【答案】B【分析】过点作于,根据等边三角形,和含角的直角三角形,易证得,从而求得线段,,,,,,的长度,最后在中利用勾股定理可以求得的长度.【详解】解:过点作于,在等边中,,,在中,,,∵,∴,,∴,∴,又∵∠A=∠B=60°,∴,  ∴,∴在中,,∴,即,∴,∵,∴,∴,已知∴,∴,∴,∴,在中,,∴,∴,∴,∴,而,∴,∴,在中,,∴,即.故选:B.【点睛】本题考查了等边三角形的性质,特殊三角函数值,一线三等角的相似模型,正确找到相似三角形是解题的关键.12.(2023·全国·九年级专题练习)【问题发现】(1)如图1,在中,,D为边上一点(不与点B、C重合)将线段绕点A顺时针旋转90°得到,连接,则线段与的数量关系是 ,位置关系是 ;【探究证明】(2)如图2,在和中,将绕点A旋转,当点C,D,E在同一直线时,与具有怎样的位置关系,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,在中,,将绕顺时针旋转,点C对应点E,设旋转角为(),当点C,D,E在同一直线时,画出图形,并求出线段的长度.【答案】(1);(2),理由见解析;(3)画出图形见解析,线段的长度为.【分析】(1)由题意易得,,从而可证,然后根据三角形全等的性质可求解;(2)连接,由题意易得,进而可证,最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证;(3)如图,过A作,由题意可知,,然后根据相似三角形的性质及题意易证,最后根据勾股定理及等积法进行求解即可.【详解】解:(1)在中,,,,,即,在和中,,,,,,故答案为:;(2),理由:如图2,连接,∵在和中,,,,,,∵,,,,,∴;(3)如图3,过A作AF⊥EC,由题意可知,,∴,即,,,,,,,在中,,,,,,,,2×,.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定,关键是根据题意得到三角形的全等,然后利用全等三角形的性质得到相似三角形,进而求解.13.(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在一直线上,连接AF并延长交边CD于点M.(1)求证:△MFC∽△MCA;(2)求的值,(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.【答案】(1)见解析;(2);(3).【分析】(1)由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°,进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM,再结合公共角,根据相似三角形的判定得结论;(2)根据正方形的性质得,再证明其夹角相等,便可证明△ACF∽△ABE,由相似三角形的性质得出结果;(3)由已知条件求得正方形ABCD的边长,进而由勾股定理求得AM的长度,再由△MFC∽△MCA,求得FM,进而求得正方形AEFG的对角线长,便可求得其边长.【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形,四边形AEFG是正方形,∴∠ACD=∠AFG=45°,∵∠CFM=∠AFG,∴∠CFM=∠ACM=45°,∵∠CMF=∠AMC,∴△MFC∽△MCA;(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∠BAC=45°,∴AC=AB,同理可得AF=,∴,∵∠EAF=∠BAC=45°,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°,∴∠CAF=∠BAE,∴△ACF∽△ABE,∴;(3)∵DM=1,CM=2,∴AD=CD=1+2=3,∴AM=,∵△MFC∽△MCA,∴,即,∴FM=,∴AF=AM﹣FM=,∴AF=,即正方形AEFG的边长为.【点睛】本题主要考查了正方形的性质,相似三角形的性质与判定,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,关键是综合应用这些知识解决问题.“K”字模型14.(2023·全国·九年级专题练习)如图,已知四边形ABCD,∠B=∠C=90°,P是BC边上的一点,∠APD=90°.(1)求证:;(2)若BC=10,CD=3,PD=3,求AB的长.【答案】(1)证明见解析;(2)8.【分析】(1)先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得,再根据相似三角形的判定即可得证;(2)先利用勾股定理求出PC的长,从而可得BP的长,再利用相似三角形的性质即可得.【详解】(1),,,在和中,,;(2)在中,,,,,由(1)已证:,,即,解得.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.15.(2021秋·江苏苏州·九年级统考阶段练习)一块含有角的直角三角板按如图所示的方式放置,若顶点的坐标为,直角顶点的坐标为,则点的坐标为.【答案】【分析】过点B作BD⊥OD于点D,根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△CAO,设点B坐标为(x,y),根据相似三角形的性质即可求解.【详解】过点B作BD⊥OD于点D,∵△ABC为直角三角形,∴,∴△BCD∽△CAO,∴,设点B坐标为(x,y),则,,∴=AC=2,∵有图知,,∴,解得:,则y=3.即点B的坐标为.故答案为【点睛】本题考查了坐标与

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