2023年数学九年级上册北师大版专题12 反比例函数图象与性质(解析版)

专题12反比例函数的图象与性质反比例函数的定义1．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数的定义即可判断．【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意；B.是二次函数，故B不符合题意；C.，y是x的反比例函数，故C符合题意；D.不是x的反比例函数，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．2．（2018秋·河南郑州·九年级校考期中）已知点在双曲线上，则下列哪个点也在此双曲线上 A． B． C． D．【答案】C【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．【详解】解：解：点在双曲线上，，只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上．A、因为，所以该点不在双曲线上故A选项错误；B、因为 ，所以该点不在双曲线上故B选项错误；C、因为，所以该点在双曲线上故C选项正确；D、因为，所以该点不在双曲线上故D选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．3．（2021秋·湖南娄底·九年级娄底一中校考期中）当时，函数是反比例函数．【答案】1【分析】根据反比例函数的定义，可得，且，解出即可．【详解】解：∵函数是反比例函数，∴，且，解得：，∴当时，函数是反比例函数．故答案为：1【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握形如的形式的表达式称是的反比例函数是解题的关键．4．（2022秋·山东淄博·九年级校考期中）观查反比例函数的图象，当时，x的取值范围是．【答案】x＜﹣1或x＞0/x＞0或x＜-1【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可．【详解】解：∵k＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，∴y=-2时，，解得x=-1，∴当y＞-2时x＜﹣1或x＞0，故答案为x＜﹣1或x＞0．【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键．5.（2022秋·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数的图像经过点．(1)求的值；(2)当且时，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)当且时，或【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解；（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由且即可求出图像位置，由此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，∴，∴．（2）解：反比例函数的图像如图所示，当且时，在第二象限：或在第四象限：．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．反比例函数系数k的几何意义6．（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）如图，、是函数的图象上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，设与轴交于点，与轴交于点，首先根据反比例函数的比例系数的几何意义，得出，，再根据、两点关于原点对称，轴，轴，得出轴，，，轴，，进而得出，，再根据面积之间的数量关系，即可得出答案．【详解】解：连接，设与轴交于点，与轴交于点，∵、是函数的图象上关于原点对称的任意两点，∴，，∵、两点关于原点对称，轴，轴，∴轴，，，轴，，∴，，∴．故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、三角形的面积、关于原点对称的点的特征，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．7.（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，得直角三角形，，，，并设其面积分别为，，，，则的值为．【答案】/0.25【分析】连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可．【详解】解：连接，∵点，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴，∴，∵，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．8．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图像上，点B、C的坐标分别是和．．且的面积为4，则k的值为．  【答案】【分析】根据，求出即可求解比例系数．【详解】解：如图：  ∵点B、C的坐标分别是和，，∴，∵的面积为4，∴，∴，解得：，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查根据图形面积求比例系数．作出正确的图形是解题关键．9.（2022春·广东河源·九年级校考期中）如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．(1)该函数图象的另一分支位于第_____象限，m的取值范围是____________；(2)已知点A在反比例函数图象上，轴于点B，的面积为3，求m的值．【答案】(1)三，(2)【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；（2）设，则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．【详解】（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且，则；（2）设∵点A在第一象限轴于点B【点睛】本题考查了反比例函数的性质及图象，根据图象得出的面积是解题的关键．反比例函数的图象10．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据各项中图像的位置判断k的符号是否相同，由此进行判断．【详解】解：A、中k>0，中k<0，故不符合题意；B、中k<0，中k＜0，故符合题意；C、中k<0，中k>0，故不符合题意；D、中k<0且与y轴交于正半轴，中k<0，故不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键．11．（2018秋·江苏南通·九年级校联考期中）若M（﹣4，y1）、N（﹣2，y2）、H（2，y3）三点都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜【答案】B【分析】先把三个点的坐标代入反比例函数解析式可分别计算出y1、y2、y3，然后比较它们的大小．【详解】把M（-4，y1）、N（-2，y2）、H（2，y3）分别代入y=得y1=-，y2=-，y3=，∵k＞0，∴y2＜y1＜y3．故选B．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．12.（2019秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，反比例函数与⊙O的一个交点为P（2，1），则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点P的坐标为（2，1），即可求出圆的半径．【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点P的坐标为（2，1），∴可知圆的半径r＝，∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，∴图中两个阴影面积的和是圆的面积，∴S阴影＝＝．故答案为．【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．13.（2020秋·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数(为常数，)；(1)若点在这个函数的图象上，求的值；(2)若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解；（2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，可知，进而求出的取值范围．【详解】（1）∵点在这个函数的图象上，∴，解得．故答案是．（2）在函数图象的每一分支上，随的增大而增大，∴，∴．故答案是：．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键．反比例函数的图象的对称性14．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：点A与关于原点对称，点的坐标为．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．15．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）关于反比例函数，下列结论不正确的是（  ）A．图象位于第一、三象限B．y随x的增大而减小C．图象关于原点成中心对称D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上【答案】B【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】解：关于反比例函数，图象位于第一、三象限，图象关于原点成中心对称，若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，则选项A，C，D都正确，不合题意；在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误，符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．16．（2020秋·北京西城·九年级北京市回民学校校考期中）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为.【答案】0.【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，∴k1=ab；又∵点A与点B关于x轴的对称，∴B（a，-b）∵点B在双曲线上，∴k2=-ab；∴k1+k2=ab+（-ab）=0；故答案为0．【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．反比例函数的性质17．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知反比例函数，下列说法中错误的是（    ）A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限C．图象关于直线对称 D．y随x的增大而增大【答案】D【分析】依据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项．【详解】解：∵反比例函数中，，∴图象位于第二，四象限，故B选项正确，不符合题意；∵，∴图象必经过点，故A选项正确，不符合题意；图象关于直线对称，故C选项正确，不符合题意；∵反比例函数中，，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．18．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）关于某个函数表达式，甲，乙，丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征：甲：函数图象经过点；乙：函数的图象经过第四象限；丙：当时，随的增大而增大．则这个函数表达式可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】A.对于，当时，，而．故选项A不符合题意；B.对于，当时，，而．故选项B不符合题意；C.对于，一次项系数为，当时，随的增大而减小，故选项C不符合题意；D.对于，当时，，而，满足题意，函数的图象经过第四象限，当时，随的增大而增大，故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数和及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．19．（2022春·广东韶关·九年级校考期中）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为．【答案】0＜y≤3【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=2时y的值即可