高考数学专题17 函数背景下的不等式问题(解析版)

2023-11-09 · U1 上传 · 20页 · 1.3 M

专题17函数背景下的不等式问题专项突破一利用图像解不等式1.二次函数的图象如图所示,则的解集为(       )A.B. C. D.【解析】根据函数的图象可得的解集为,而的图像是由的图像右移一个单位得到的,∴,解得,故的解集为.故选:B.2.已知函数的图象如图,则不等式的解集为(       )A.B.C. D.【解析】不等式,则或,观察图象,解得,解得,所以不等式的解集为.故选:D3.已知函数和的图象如图所示,则不等式的解集是()A. B. C. D.【解析】将图象合并至一个图,如图:若满足,则等价于或,当时,,当时,,故的解集是故选:B4.已知是定义在上的奇函数,当时,的图像如图所示,那么不等式的解集是(       )A.B.C. D.【解析】由题可得,当时,当时,因为是定义在上的奇函数,所以当时,当时,所以不等式的解集是.故选:C.5.已知是定义在上的函数,的图象如图所示,那么不等式的解集是(       )A. B.C. D.【解析】当时,,由可得,解得;当时,,由可得,解得.因此,不等式的解集为.故选:C.6.已知函数的定义域为,为的导函数,函数的图像如下图所示,且,,则不等式的解集为()A. B.C. D.【解析】由题当时,,为增函数,又,解得或,同理当时,,为减函数,又,,解得,综上,故选C.7.函数的图象如图,则的解集为(       )A.B.C. D.【解析】由图可知,的定义域的定义域为,且经过点,而,解得,所以.所以,解得.所以,所以不等式,得,即,等价于,解得,综上,所求不等式的解集为.故选:D.8.如图为函数和的图像,则不等式的解集为(       )A. B.C. D.【解析】当时,,此时需满足,,故;当时,,此时需满足,,故;综上所述:.故选:D.9.已知函数是定义在上的奇函数,当时,的图象如图所示,那么满足不等式的的取值范围是()A. B.C. D.【解析】设,如下图所示,画出函数在上的图像,可知与图像交于两点,,即的图像要在上方,所以满足条件的的取值范围为:,故选:B.10.已知是偶函数,是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在上的图像如图所示,则不等式的解集是_____.【解析】将不等式 转化为:f(x)g(x)<0,如图所示:当x>0时其解集为:(0,1)∪(2,3),∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴f(x)g(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)g(x)>0,∴其解集为:(−2,−1),综上:不等式 的解集是{x|−2<x<−1或0<x<1或2<x<3}11.如图,函数的图象为折线,则不等式的解为___________.【解析】因为经过,所以时,令,当时,可得,所以的解集为.12.如图,函数的图像为折线,则不等式的解集为__________.【解析】不等式可化为,作出的函数图象如下:设与线段BC交于D,易得BC所在直线方程为,联立方程组解得,即,则观察图形可得当时,,即不等式的解集为.13.设奇函数的定义域为,若当时,的图象如图,则不等式的解集是___________.【解析】奇函数图象关于原点对称,作出在的图象如下:由得或,由图可知或,的解集为.14.已知函数是定义在上的偶函数,当时,.(1)求函数在上的解析式;(2)画出函数的图象并根据图像写出函数的单调增区间及值域;(3)解不等式.【解析】(1)是定义在上的偶函数,当时,,当时,则,则,在上的解析式为:.(2)函数的图象如图:由图象可知,函数的单调递增区间是,;则的最小值为,最大值为,所以值域是.(3)由,得或,所以或或,解得:或,综上:不等式的解集为或.15.已知,.(1)利用函数单调性的定义,证明:在区间上单调递增;(2)用分段函数的形式表示;(3)在同一坐标系中分别画出和的图像,并写出不等式的解集.【解析】(1)设任意,可得,,因为,所以,,故,所以函数在区间上单调递增;(2)当时,当时,,当时,,所以;(3)由图像可知,不等式解集为(-2,-1).专项突破二利用函数性质解不等式1.不等式的解集为(       )A. B.C. D.【解析】可得到:①或②,解①得:,解②得:,综上:不等式解集为,故选:A2.已知函数,若,则的取值范围为(       )A. B.C. D.【解析】当时,若,即,解得;当时,若,即,解得.所以的取值范围为.故选:D3.已知定义在R上的函数是偶函数,且在上单调递减,则不等式的解集为(       )A. B. C. D.【解析】因为为偶函数,且在上单调递减,所以在上单调递增.由,得,解得,即不等式的解集为.故选:C4.设函数,则不等式的解集为(       )A. B. C. D.【解析】由题意得,函数的定义域为R,又,所以为偶函数,当时,函数单调递增,单调递增,所以在上单调递增,将不等式化为,等式两边同时平方,得,整理,得,解得.故选:D5.已知函数,则不等式的解集为(       )A. B.C. D.【解析】由题知,函数的定义域为,,所以为偶函数,因为当时,,所以,当时,为单调递增函数,所以,当时,为单调递减函数,因为,所以即为,所以,即,所以.故选:D6.已知函数是定义域为的奇函数,当时,.若,则的取值范围为(       )A. B. C. D.【解析】当时,的对称轴为,故在上单调递增.函数在x=0处连续又是定义域为的奇函数,故在上单调递增.因为,由,可得,又因为在上单调递增,所以有,解得.故选:D7.已知,,若,,使得,则实数的取值范围为(       )A. B. C. D.【解析】函数在上单调递增,则有,又在上单调递减,则有,因为,,使得,于是得,解得,所以实数的取值范围是.故选:D8.已知偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集为(       )A. B. C. D.【解析】偶函数在上单调递增,则在上单调递减,而,因,则当时,,即,解得,当时,,即,解得,所以不等式的解集为.故选:B9.已知函数,则关于的不等式的解集是(       )A. B. C. D.【解析】由题设,对称轴为且图象开口向下,则在上递增,上递减,由,即恒过且,所以上,上,而在上递增,且上,上,所以的解集为.故选:C10.若函数,则_________;不等式的解集为__________【解析】,当时,,所以,解得:;当时,,解得:,所以,综上:.11.已知函数,则不等式的解集为______.【解析】由题意,得或,解得或,所以不等式的解集为12.已知函数,若,则实数的范围为__________.【解析】因为,所以由,13.已知函数,则不等式的解集为______.【解析】因为,又,即或,解得或,综上可得原不等式的解集为;14.已知函数,若,则实数的取值范围是_________.【解析】由题函数在单调递增,在为常数函数,且,若,则或或则或或解得:或或,综上所述:15.已知函数,则不等式的解集为___________.【解析】①当时,,在上单调递增,,又,恒成立;②当时,,,又,恒成立;③当时,,,;恒成立;④当时,,,,,解得:,;综上所述:不等式的解集为.16.已知函数,则不等式的解集是_______【解析】因为,定义域为,关于原点对称;又,故为奇函数;又在上为单调增函数,故在上单调递增.则,即,则,解得,故不等式解集为.17.已知函数则满足的取值范围是_________【解析】,而,,均在区间内单调递增,故在区间内单调递增,则可化为,解得18.要使函数在时恒大于0,则实数a的取值范围是______.【解析】因为函数在时恒大于0,所以在时恒成立.令,则.因为,所以.令.因为在上为减函数,所以,即因为恒成立,所以.19.已知函数(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间;(2)求不等式的解集.【解析】(1)由解析式知:01234500000的图象如下图所示:由图象知,的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)令,解得或,结合图象知:的解集为.20.已知函数.(1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象;(2)写出的单调递增区间;(3)求不等式的解集.【解析】(1)(2)由图可知的单调递增区间;(3)令,解得或(舍去);令,解得.结合图象可知的解集为21.已知函数(1)解关于的不等式(2)当时,对,都有恒成立,求实数的取值范围【解析】(1)∴当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为;(2)因为,所以,因为对,都有恒成立,所以,当时,即时,,,所以,所以,故,当时,,,所以,故,当时,,所以,故,当时,,,由可得,故,所以22.已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求的解析式;(2)若恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数为奇函数,所以,即,所以,所以,可得,函数.(2)∵,所以在上单调递减,且为奇函数,由,得,所以,设,,则,又,所以,即,故实数m的取值范围.23.已知函数,其中且(1)求的值并写出函数的解析式;(2)求函数的定义域,再判断并证明函数的奇偶性;(3)已知在定义域上是单调递减函数,求使的的取值范围.【解析】(1)由,,解得,.(2)由得,,解得,所以函数的定义域为,该定义域关于原点对称,又,即,所以函数在上为奇函数.(3)由在定义域上单调递减,,得,又,所以.24.已知函数.(1)当时,求的解集;(2)设,若对,,使得成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当时,,无解;,无解;,解得,所以的解集为;(2)因为时,,即,因为在上单调递增,所以时,,因为对,,使得成立,等价于,所以,因为,所以,解得或,所以实数a的取值范围为;综上,的解集为,实数a的取值范围为.25.已知函数是上的奇函数.(1)求实数的值,并指出的单调性;(2)若对一切实数满足,求实数的取值范围.【解析】(1)由是上的奇函数可知,即,因此;又,由复合函数单调性可知,在上单调递增.(2)【法1:参变分离】依题意,,由的单调性可知:,即;令,原问题等价于对任意恒成立..令   ①当时,;②当时,令,则,当且仅当,即时,取到最大值.综合①②可知,,故的取值范围为.【法2:带参讨论】依题意,,由的单调性可知:,即令,原问题等价于对任意恒成立,令,则其最小值大于0;①当时,,,不合题意;②当时,开口向下,则,解得;…③当时,开口向上,对称轴,则或,解得;综合①②③可知,的取值范围为.

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