高考数学专题17 函数背景下的不等式问题(解析版)

专题17函数背景下的不等式问题专项突破一利用图像解不等式1．二次函数的图象如图所示，则的解集为（       ）A．B． C． D．【解析】根据函数的图象可得的解集为，而的图像是由的图像右移一个单位得到的，∴，解得，故的解集为．故选：B．2．已知函数的图象如图，则不等式的解集为（       ）A．B．C． D．【解析】不等式，则或，观察图象，解得，解得，所以不等式的解集为.故选：D3．已知函数和的图象如图所示，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【解析】将图象合并至一个图，如图：若满足，则等价于或，当时，，当时，，故的解集是故选：B4．已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么不等式的解集是（       ）A．B．C． D．【解析】由题可得，当时，当时，因为是定义在上的奇函数，所以当时，当时，所以不等式的解集是.故选：C.5．已知是定义在上的函数，的图象如图所示，那么不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【解析】当时，，由可得，解得；当时，，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：C.6．已知函数的定义域为，为的导函数，函数的图像如下图所示，且，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【解析】由题当时，，为增函数，又，解得或，同理当时，，为减函数，又，，解得，综上，故选C．7．函数的图象如图，则的解集为（       ）A．B．C． D．【解析】由图可知，的定义域的定义域为，且经过点，而，解得，所以.所以，解得.所以，所以不等式，得，即，等价于，解得，综上，所求不等式的解集为.故选：D.8．如图为函数和的图像，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】当时，，此时需满足，，故；当时，，此时需满足，，故；综上所述：.故选：D.9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是()A． B．C． D．【解析】设,如下图所示,画出函数在上的图像,可知与图像交于两点,,即的图像要在上方,所以满足条件的的取值范围为:,故选:B.10．已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是_____.【解析】将不等式 转化为：f（x）g（x）＜0,如图所示：当x＞0时其解集为：（0，1）∪（2，3）,∵y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数,∴f（x）g（x）是奇函数,∴当x＜0时，f（x）g（x）＞0,∴其解集为：（−2，−1）,综上：不等式 的解集是{x|−2＜x＜−1或0＜x＜1或2＜x＜3}11．如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________.【解析】因为经过，所以时，令，当时，可得，所以的解集为.12．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集为__________.【解析】不等式可化为，作出的函数图象如下：设与线段BC交于D，易得BC所在直线方程为，联立方程组解得，即，则观察图形可得当时，，即不等式的解集为.13．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是___________.【解析】奇函数图象关于原点对称，作出在的图象如下：由得或，由图可知或，的解集为.14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)画出函数的图象并根据图像写出函数的单调增区间及值域；(3)解不等式.【解析】(1)是定义在上的偶函数，当时，，当时，则，则，在上的解析式为：.(2)函数的图象如图：由图象可知，函数的单调递增区间是，；则的最小值为，最大值为，所以值域是.(3)由，得或，所以或或，解得：或，综上：不等式的解集为或.15．已知，．(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上单调递增；(2)用分段函数的形式表示；(3)在同一坐标系中分别画出和的图像，并写出不等式的解集．【解析】(1)设任意，可得，，因为，所以，，故，所以函数在区间上单调递增；(2)当时，当时，，当时，，所以；(3)由图像可知，不等式解集为（－2，－1）．专项突破二利用函数性质解不等式1．不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】可得到：①或②，解①得：，解②得：，综上：不等式解集为,故选：A2．已知函数，若，则的取值范围为（       ）A． B．C． D．【解析】当时，若，即，解得；当时，若，即，解得.所以的取值范围为.故选：D3．已知定义在R上的函数是偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】因为为偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增.由，得，解得，即不等式的解集为.故选：C4．设函数，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】由题意得，函数的定义域为R，又，所以为偶函数，当时，函数单调递增，单调递增，所以在上单调递增，将不等式化为，等式两边同时平方，得，整理，得，解得.故选：D5．已知函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】由题知，函数的定义域为，，所以为偶函数，因为当时，，所以，当时，为单调递增函数，所以，当时，为单调递减函数，因为,所以即为，所以，即，所以.故选：D6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【解析】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在x=0处连续又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由，可得，又因为在上单调递增，所以有，解得.故选：D7．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【解析】函数在上单调递增，则有，又在上单调递减，则有，因为，，使得，于是得，解得，所以实数的取值范围是．故选：D8．已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】偶函数在上单调递增，则在上单调递减，而，因，则当时，，即，解得，当时，，即，解得，所以不等式的解集为.故选：B9．已知函数，则关于的不等式的解集是（       ）A． B． C． D．【解析】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，由，即恒过且，所以上，上，而在上递增，且上，上，所以的解集为.故选：C10．若函数，则_________；不等式的解集为__________【解析】，当时，，所以，解得：；当时，，解得：，所以，综上：.11．已知函数，则不等式的解集为______．【解析】由题意，得或，解得或，所以不等式的解集为12．已知函数，若，则实数的范围为__________.【解析】因为，所以由，13．已知函数，则不等式的解集为______．【解析】因为，又，即或，解得或，综上可得原不等式的解集为；14．已知函数，若，则实数的取值范围是_________．【解析】由题函数在单调递增，在为常数函数，且,若,则或或则或或解得：或或，综上所述：15．已知函数，则不等式的解集为___________.【解析】①当时，，在上单调递增，，又，恒成立；②当时，，，又，恒成立；③当时，，，；恒成立；④当时，，，，，解得：，；综上所述：不等式的解集为.16．已知函数，则不等式的解集是_______【解析】因为，定义域为，关于原点对称；又，故为奇函数；又在上为单调增函数，故在上单调递增.则，即，则，解得，故不等式解集为.17．已知函数则满足的取值范围是_________【解析】，而，，均在区间内单调递增，故在区间内单调递增，则可化为，解得18．要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是______.【解析】因为函数在时恒大于0，所以在时恒成立.令，则.因为，所以.令.因为在上为减函数，所以，即因为恒成立,所以.19．已知函数(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；(2)求不等式的解集.【解析】(1)由解析式知：01234500000的图象如下图所示：由图象知，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)令，解得或，结合图象知:的解集为．20．已知函数．(1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象；(2)写出的单调递增区间；(3)求不等式的解集．【解析】(1)(2)由图可知的单调递增区间；(3)令，解得或（舍去）；令，解得.结合图象可知的解集为21．已知函数(1)解关于的不等式(2)当时，对，都有恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)∴当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；(2)因为，所以，因为对，都有恒成立，所以，当时，即时，，，所以，所以，故，当时，，，所以，故，当时，，所以，故，当时，，，由可得，故，所以22．已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求的解析式；(2)若恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，可得，函数.(2)∵，所以在上单调递减，且为奇函数，由，得，所以，设，，则，又，所以，即，故实数m的取值范围.23．已知函数，其中且(1)求的值并写出函数的解析式；(2)求函数的定义域，再判断并证明函数的奇偶性；(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．【解析】(1)由，，解得，.(2)由得，，解得，所以函数的定义域为，该定义域关于原点对称，又，即，所以函数在上为奇函数.(3)由在定义域上单调递减，，得，又，所以.24．已知函数．(1)当时，求的解集；(2)设，若对，，使得成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)当时，，无解；，无解；，解得，所以的解集为；(2)因为时，，即，因为在上单调递增，所以时，，因为对，，使得成立，等价于，所以，因为，所以，解得或，所以实数a的取值范围为；综上，的解集为，实数a的取值范围为.25．已知函数是上的奇函数．(1)求实数的值，并指出的单调性；(2)若对一切实数满足，求实数的取值范围．【解析】(1)由是上的奇函数可知，即，因此；又，由复合函数单调性可知，在上单调递增.(2)【法1：参变分离】依题意，，由的单调性可知：，即；令，原问题等价于对任意恒成立..令   ①当时，；②当时，令，则，当且仅当，即时，取到最大值.综合①②可知，，故的取值范围为.【法2：带参讨论】依题意，，由的单调性可知：，即令，原问题等价于对任意恒成立，令，则其最小值大于0；①当时，，，不合题意；②当时，开口向下，则，解得；…③当时，开口向上，对称轴，则或，解得；综合①②③可知，的取值范围为.