高考数学专题11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合(解析版)

专题11函数的奇偶性、对称性和周期性综合专项突破一奇偶性与周期性1．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（       ）A．1 B．-1 C． D．【解析】∵为上的偶函数，∴，又当时，，∴，当时，，∴.故选：A.2．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（       ）A．-2 B． C．2 D．6【解析】因为为上的奇函数，所以，即，解得，又因为，所以，所以，所以是以12为周期的周期函数，所以.故选：B.3．已知定义域为R的奇函数满足，且当时，则（       ）A．2 B．1 C． D．【解析】奇函数满足，所以，以4为周期的奇函数..故选：A4．已知是定义在R上的奇函数，，且，则（       ）A．2 B． C．4 D．【解析】，∴，所以函数的周期为，则，∴，，，，故选：B.5．若函数满足，且当时，，则函数与函数的图像的交点个数为（       ）.A．18个 B．16个 C．14个 D．10个【解析】因，于是得函数是以2为周期的周期函数，又当时，，则有函数与函数都是偶函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图像，如图，观察图象得，函数与函数的图像有9个交点，由偶函数的性质知，两函数图象在时有9个交点，所以函数与函数的图像的交点个数为18.故选：A6．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（          ）A． B． C． D．【解析】由知函数的图象关于直线对称，由是上的奇函数知，在中，以代得：即，所以，即，所以是以4为周期的周期函数．考虑的一个周期，例如，，由在，上是减函数知在，上是增函数，在，上是减函数，在，上是增函数．对于奇函数有，（2），故当时，，当时，（2），当时，，当时，（2），方程在，上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，由于为奇函数，故在上有唯一实根，在上无实数根.则由于，故方程在上有唯一实数．在上，则方程在上没有实数根．从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根．当，，方程的两实数根之和为，当，，方程的所有四个实数根之和为．故选：C7．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，.若直线与函数的图象在区间上恰有3个不同的公共点，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，所以，且的图象关于直线对称，所以，所以函数的周期.因为当时，，且是偶函数，所以可画出函数在一个周期上的图象如图所示.显然时，与在区间上恰有两个不同的公共点.当直线与抛物线相切时，也恰有两个不同的公共点.由题意知，即.故，即.综上可知实数a的取值范围是，故选：D.8．已知定义在R上的函数的图像关于y轴对称，且，将函数的图像向右平移一个单位长度后关于原点对称，则______，其中；______【解析】依题意，知，为奇函数，则，又，故，，，则最小正周期．因为，所以，，故，．故答案为:；9．奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则______．【解析】由函数为偶函数可得，，又，故，所以，即所以，故该函数是周期为8的周期函数．又函数为奇函数，故，．所以．10．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.【解析】:是上的奇函数，，又，，，所以是周期函数，且周期为4，.11．已知是偶函数，周期是8，当时，，则____．【解析】因为当时，，所以，又因为是偶函数，周期是8，所以，12．已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为______．【解析】由题设，，故，即的周期为2，所以，且，所以.13．若偶函数对任意都有，且当时，，则______．【解析】因为，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.14．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数，，均有；②；③对任意，．(1)求的值，并判断的奇偶性；(2)对任意的x∈R，证明：；(3)直接写出的所有零点(不需要证明)．【解析】(1)∵对任意实数，，均有，∴令，则，可得，∵对任意,，，∴f(0)＞0，∴；令，则；∴；∵f(x)定义域为R关于原点对称，且令时，，∴是R上的偶函数；(2)令，则，则，∴，即；(3)(1)，且是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得，从而可得f(－1)＝(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，故f(x)的零点为奇数，即f(x)所有零点为，.专项突破二奇偶性与对称性1．奇函数的图象关于直线对称，，则的值为（       ）A． B．4 C． D．3【解析】依题意，是奇函数且关于对称.所以，.故选：C2．已知定义域的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则（       ）A． B． C． D．【解析】∵函数的图像关于直线对称，∴，∴，∵奇函数满足，当时，，∴，故选：D．3．已知是R上的偶函数，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，则的值为（）A．1 B．0C．-1 D．【解析】由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，由奇函数的定义得f（x-1）+f（x+1）=0，再由f（1）=f（-1）=0，f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0．解答：解：由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，∴f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1），∴f（x-1）+f（x+1）=0，∴f（9）+f（7）=0，f（5）+f（3）=0，由f（x-1）是奇函数得，f（0-1）=0，即f（-1）=0，又f（x）是R上的偶函数，∴f（1）=f（-1）=0，∴f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0，故选   B．4．若定义在上的偶函数的图象关于点对称，则下列说法错误的是（       ）A． B．C． D．【解析】因为为偶函数，则，故A正确；因为的图象关于点对称，对于的图象上的点关于的对称点也在函数图象上，即，用替换得到，，即，故B正确；令，则，令，则，则，故C正确；由B知，，故D错误；故选：D.5．已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，则（       ）A． B． C． D．【解析】依题意知函数是定义在上的奇函数，所以，又因为图象关于直线对称，关于对称，所以.的函数值无法确定.故选：A6．已知定义域为的奇函数满足：，且当时，，若，则（       ）A． B． C． D．【解析】由题意可知，，所以，时，，又，于是，即时，.根据条件，，所以.故选：C.7．已知函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，若，，，则、、的大小关系为（       ）A． B．C． D．【解析】因为函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，将函数向左平移一个单位即可得到函数的图象，所以函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，，，，因此，且所以，所以，所以，即.故选：B.8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.则函数图象的对称中心为（       ）A． B． C． D．【解析】设为图象的对称中心，则有为奇函数，设，则为奇函数；，又，可得，所以，解得；所以函数图象的对称中心的坐标为.故选：A.9．函数（是自然对数的底数）的图象关于（       ）A．点对称 B．点对称C．直线对称 D．直线对称【解析】函数对于A，，即图象不关于点对称，故A错误；对于B，，即图象不关于点对称，故B错误；对于C，，即图象关于直线对称，故C正确；对于D，，即图象不关于直线对称，故D错误；故选：C10．已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（       ）A． B． C． D．【解析】对于A，因为为偶函数，所以，即，即，即的图象关于直线对称，而的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以的图象关于直线对称，所以A正确，对于B，构造函数则，所以，显然其图象不关于对称，故B错误，对于C，构造函数则，所以，显然其图象不关于对称，所以C错误，对于D，构造函数则，所以，显然其图象不关于对称，所以D错误，故选：A11．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，当时，，若，则实数x的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，又当时，，所以在上单调递增，根据偶函数的对称性可知在上单调递减，则等价于，所以，解得，即原不等式的解集为；故选：D12．定义在上的函数满足：的图像关于对称，当时，，且当时，，则（       ）A． B． C．1 D．3【解析】由于将函数的图像向右平移一个单位得到函数的图象，又的图像关于对称，所以函数的图象关于对称，即函数是上的奇函数，又当时，，所以，又当时，，所以.所以.故选：B.13．(多选)已知定义在上的奇函数满足，则下列说法正确的是（       ）A．的图像关于点（1，0）对称 B．C． D．【解析】由，得，所以的图像关于点（1，0）对称，所以A正确；由题意得，所以，所以B正确；由，得，即，所以，所以C错误；因为，所以，即，所以D正确，故选：ABD14．(多选)对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（       ）A．若是奇函数，则的图像关于点对称B．若对，有，则的图像关于直线对称C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数D．若，则的图像关于点对称【解析】对A，是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向右平移1个单位得的图象，故的图象关于点（1，0）对称，正确；对B，若对，有，得，所以是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线对称，错误.；对C，若函数的图象关于直线对称，则的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；对D，由得，，的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.15．已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________.【解析】由已知是定义在上的偶函数，故，即，或，且函数图象关于轴对称，又，故，因为关于直线对称，故，，16．已知是奇函数.（1）求的值，（2）若函数的图象关于点对称，，求的值.【解析】（1）因为是奇函数，所以，即，整理得，又，所以.（2）因为，所以，所以函数的图象关于点对称，即.因为的图象关于对称，所以，又函数的图象关于点对称，所以，所以.专项突破三奇偶性、周期性与对称性1．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则；而，所以由可得；而，解得.故选：C.2．已知函数的图像既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则（       ）A． B． C． D．0【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，因为函数的图像关于点对称，所以，所以，即，即，所以，所以，即，所以函数的周期为4，所以，故选：D3．已知函数是上的奇函数，且的图像关于直线对称，当时，，则（       ）A． B．0 C．1 D．2【解析】因为是上的奇函数，所以的图象关于原点对称，且，又的图象关于直线对称,所以的周期,所以,因为当时，,所以,即.故选：C4．已知定义在上的函数满足：且为奇函数，当时，，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为定义在上的函数满足，且为奇函数，所以，且，所以，令，则，所以，所以，所以函数的周期为，所以.故选：C.5．已知函数是定义域为R的奇函数，且，当时，，则等于（       ）A．－2 B．2 C． D．－【解析】函数是定义域为R的奇函数，则有：,又，则,则有：,可得：,故，即的周期为,则有：,故选：B6．已知函数满足且，当时，，设，则（       ）A．0 B． C． D．1【解析】由函数满足，即，所以函数为奇函数，又由，可得函数是周期为的函数，又由当时，，则.故选：B.7．已知是定义域为的奇函数，且满足为偶函数，若，则（       ）A． B．1 C．0 D．2021【解析】由为偶函数，可知关于轴对称，即函数关于直线对称，又函数为奇函数，可知函数关于坐标原点中心对称，故函数的周期为，又，，，故，，故