专题三 三角形形状的判定问题【方法总结】利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．正(余)弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．特别地，在△ABC中，c是最大的边，若c2a2＋b2，则△ABC是钝角三角形．【例题选讲】[例1](1)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形答案 B 解析 ∵cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴eq\f(1＋cosB,2)＝eq\f(a＋c,2c)，即1＋cosB＝eq\f(a＋c,c)．由余弦定理得1＋eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a＋c,c)．整理得c2＝a2＋b2，即△ABC为直角三角形．(2)在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定答案 A 解析 因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB>1，得1－tanAtanB<0，且tanA>0，tanB>0，即A，B为锐角，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)<0，则A＋B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，即C为锐角，所以△ABC是锐角三角形．(3)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC( )A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C 解析 根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，又sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25t2＋121t2－169t2,2×5t×11t)＝－eq\f(23,110)<0，∴角C为钝角．故选C．(4)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形答案 D 解析 法一：由余弦定理及已知得a×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝90°，所以△ABC为直角三角形．法二：由正弦定理得acosB＋acosC＝b＋c，即sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC，即sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得cosA(sinB＋sinC)＝0，在△ABC中，sinB＋sinC≠0，则cosA＝0，所以△ABC为直角三角形．(5)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形答案 C 解析 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB．方法一 由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理、余弦定理得：a2beq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．(6)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若tanA∶tanB＝a2∶b2，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形答案 C 解析 因为eq\f(sinA,cosA)∶eq\f(sinB,cosB)＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，所以eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(sin2A,sin2B)，整理得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．(7)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形答案 D 解析 法一：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，则条件化为：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0．又0°