高考数学专题四 三角形中的最值(范围)问题(解析版)

专题四 三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))答案 C 解析 因为a2＜b2＋c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，所以A为锐角．又因为a＞b＞c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))．(2)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))答案 A 解析 因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知10．则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，∵0eq\f(π,3)．因此得角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))．2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是( )A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4))) C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))2．答案 C 解析 在△ABC中，由正弦定理化简已知的等式得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(4a2＋c2－a2,4ac)＝eq\f(3a2＋c2,4ac)≥eq\f(2\r(3)ac,4ac)＝eq\f(\r(3),2)(当且仅当c2＝3a2，即c＝eq\r(3)a时取等号)，因为A为△ABC的内角，且y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以0＜A≤eq\f(π,6)，故角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0