高考数学专题18 函数中的新定义问题(解析版)

2023-11-09 · U1 上传 · 22页 · 1.4 M

专题18函数中的新定义问题一、单选题1.,表示不超过的最大整数,十八世纪,函数被“数学王子”高斯采用,因此得名高斯函数,人们更习惯称之为“取整函数”,则(       )A.0 B.1 C.7 D.8【解析】由题意可知4-(-4)=8.故选:D.2.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数与函数即为“同族函数”.请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是(       )A. B. C. D.【解析】对于选项AD,函数都为单调递增的,故不满足,因此AD都错;对于选项C,在区间和上都是单调递减的,且在两个区间上的取值一正一负,故不满足,因此C错;对于选项B,函数,和函数,即为“同族函数”,故满足,因此B正确.故选:B.3.已知函数的定义域为实数集R,满足(M是R的非空子集),在R上有两个非空真子集A,B,且,则的值域为(       )A. B. C. D.【解析】当时,,,,同理得:当时,;当时,;故,即值域为{1}.故选:B4.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石,布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer),简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点函数”,下列为“不动点函数”的是(       )A. B.C. D.【解析】对于A,由,得,即,方程无解,所以A不符合题意,对于B,由,得,即,方程无解,所以B不符合题意,对于C,由,得当时,,即,解得或,所以此函数为“不动点函数”,所以C正确,对于D,由,得,即,方程无解,所以D不符合题意,,故选:C5.四参数方程的拟合函数表达式为,常用于竞争系统和免疫检测,它的图象是一个递增(或递减)的类似指数或对数曲线,或双曲线(如),还可以是一条S形曲线,当,,,时,该拟合函数图象是(       )A.类似递增的双曲线 B.类似递增的对数曲线C.类似递减的指数曲线 D.是一条S形曲线【解析】依题意可得拟合函数为,,即,,由向左平移个单位,再向上平移个单位得到,,因为在上单调递增,所以拟合函数图象是类似递增的双曲线;故选:A6.在函数区间D上的导函数为,在区间D上的导函数为.若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数,,若对满足的任何一个实数m,函数在区间上都为“凸函数”,则的最大值为(     )A.4 B.3 C.2 D.1【解析】由题设,,则,∴对任意,在上有恒成立,令在上恒成立,∴,可得,∴,故的最大值为4.故选:A7.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有数学王子的美誉,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其姓名命名的“高斯函数”为,其中表示不超过的最大整数,例如,已知函数,令函数,则的值域为(       )A.B.C.D.【解析】因为,所以,所以,则的值域.故选:C.8.已知函数,若在定义域内存在实数,使得,其中为整数,则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”,若是上的“阶局部奇函数”,则实数的取值范围是(       )A. B. C. D.【解析】由题意,函数,满足,解得,因为函数是上的“阶局部奇函数”,即关于的方程在上有解,即在上有解,可得,所以在有解,又由,因为,所以,解得,实数的取值范围是.故选:B.9.如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线,我们把这样的曲线叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形,也可以形象地称它为倒影曲线),它每过相同的间隔振幅就变化一次,且过点,其对应的方程为(,其中为不超过x的最大整数,).若该葫芦曲线上一点N的横坐标为,则点N的纵坐标为(       )A. B. C. D.【解析】由曲线过知,,即,则,解得,又,则,若该葫芦曲线上一点N的横坐标为,即,代入曲线方程得到,则,即点N的纵坐标为.故选:D10.设函数的定义域为,若函数满足条件:存在,使在上的值域为,则称为“倍缩函数”.若函数(其中)为“倍缩函数”,则的取值范围是(       )A. B. C. D.【解析】由已知可得,在上是增函数;即,是方程的两个根,设,则,此时方程为即方程有两个不等的实根,且两根都大于;解得:,满足条件的范围是.故选:A二、多选题11.具有性质:的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数中满足“倒负”变换的函数是(       )A. B. C. D.【解析】对于A选项,x=0在定义域内,不满足“倒负”变换;对于B选项,,满足“倒负”变换;对于C选项,,,不满足“倒负”变换;对于D选项,当时,,此时;当x=1时,,此时;当时,,此时,满足“倒负”变换.故选:BD.12.对于函数,若,则称是的不动点:若,则称是的稳定点,则下列函数有稳定点的是(       )A. B.C. D.【解析】A:函数的定义域为,假设存在稳定点,则,,所以对,均有,故A有稳定点;B:函数的定义域为R,假设存在稳定点,则,,而在R上无解,故B无稳定点;C:,当时,,而,故,故C有稳定点;D:,当时,,而,故,故D有稳定点.故选:ACD.13.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义,由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中,函数的周期点是一个关键概念,定义如下:设是定义在R上的函数,对于R,令,若存在正整数k使得,且当0

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