专题08函数的周期性专项突破一周期函数的定义与求解1.有下面两个命题:①若是周期函数,则是周期函数;②若是周期函数,则是周期函数,则下列说法中正确的是( ).A.①②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①②都错误【解析】若是周期函数,设周期为,则,则也是周期函数,故①正确;若是周期函数,设周期为,则,不一定成立,故②错误.故选:B.2.若函数满足,则可以是( )A. B. C. D.【解析】因为,所以函数的周期为.A:因为,所以,因此函数的周期不可能,本选项不符合题意;B:因为,所以,因此函数的周期不可能,本选项不符合题意;C:该函数的最小正周期为:,因此函数的周期不可能,本选项不符合题意;D:该函数的最小正周期为:,因此本选项符合题意,故选:D3.已知定义在上的非常数函数满足:对于每一个实数,都有,则的周期为( )A. B. C. D.【解析】由可得,即对任意成立,则,即,由可得对任意成立,即对任意成立,则,即对任意成立,则为的一个周期;而取时,满足,此时不存在小于的周期;故选:C4.若定义在R上的偶函数f(x)满足且时,,则方程的解有( )A.2个 B.3个C.4个 D.多于4个【解析】由可得函数的周期为2,又函数为偶函数且当,时,,故可作出函数得图象.方程的解个数等价于与图象的交点,由图象可得它们有4个交点,故方程的解个数为4.故选:C.5.设是定义在实数集上的函数,且满足,,则是( )A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数【解析】因为,,所以,所以,故,所以周期为,因为,所以是奇函数.故选:C.6.已知函数的最小正周期为3,则函数的最小正周期为______.【解析】设函数的最小正周期为,则,∴,即,∴函数的最小正周期为,又函数的最小正周期为3,∴.7.函数为定义在上的奇函数,且满足,则的周期为__________.【解析】,,又为奇函数,,是周期为的周期函数.8.若定义在上的非零函数,对任意实数,存在常数,使得恒成立,则称是一个“函数”,试写出一个“函数”:__________.【解析】当时,由得,所以只需写一个周期为1的函数,所以满足条件的函数可以为.故答案为:(答案不唯一).专项突破二利用周期性求函数值(或解析式)1.已知定义在R上的函数满足,当时,,则( )A. B. C.2 D.1【解析】由可知,函数的周期为2,当时,,∴.故选:B2.已知函数是上的偶函数,若对于,都有.且当时,,则的值为( )A. B. C.1 D.2【解析】∵函数是上的偶函数,∴,又∵对于都有,∴,∵当时,,∴,故选:C.3.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则( )A. B. C. D.【解析】∵f(x)是R上偶函数,∴f(-x)=f(x),又∵,∴,故f(x)的一个周期是2,故.故选:B.4.已知函数的图象关于原点对称,且,当时,,则( )A.-11 B.-8 C. D.【解析】因为函数图象关于原点对称,所以,由知,函数是以4为周期的函数,又当时,,则.故选:A.5.已知定义在R上的奇函数满足,且当时,,则的值为( ).A. B.0 C.1 D.2【解析】∵定义在R上的奇函数满足,∴的周期为4,∴,,∴.故选:A,6.已知函数满足:对任意,.当时,,则( )A. B. C. D.【解析】因为,则,即,所以,即,所以,因为,所以,所以,故选:C7.定义在R上的偶函数满足,且,则( )A.1 B.2 C.4 D.8【解析】因为定义在R上的偶函数满足,所以,所以,所以,所以函数是周期为4的周期函数,所以.在中,令,则,解得或-1.因为,所以.故选:B.8.已知函数的定义域为R,且满足,当,时,f(x)=,则f(7)______.【解析】∵,∴f(x)周期为2,则f(7)=f(2×3+1)=f(1)=e.9.已知是以为周期的偶函数,且当时,,则________.【解析】.10.已知是定义在上的周期为3的奇函数,且,则___________.【解析】由题意知:,而,∴,即,∴,故.11.设定义在R上的函数同时满足以下条件:①;②;③当时,,则________.【解析】依题意知:函数为奇函数且周期为2,则,,即.∴12.已知是定义在上的奇函数,且函数为偶函数,当时,,则______.【解析】根据题意,为偶函数,即函数的图象关于直线对称,则有,又由为奇函数,则,则有,即,即函数是周期为4的周期函数,所以13.设是定义在上周期为4的偶函数,且当时,,则函数在上的解析式为__________.【解析】根据题意,设,则,则有,当时,,则,又为周期为4的偶函数,所以,,则有,;故答案为:,.14.定义在上的偶函数满足,且时,,则__________.【解析】根据题意,函数满足则,则函数是周期为的周期函数,,又由时,,则,则15.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2019).【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2.∴f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)=0.∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2019)=0.16.已知函数是实数集上的函数,且,当时,.(1)求的周期.(2)求时,函数的表达式.(3)若关于的方程在区间上恰有4个解,求实数的取值范围.【解析】(1)∵是实数集上的函数,且,∴,∴,∴的周期为6.(2)∵,∴,若时,,又∵时,,∴,又∵,∴,当时,,∴,又∵,∴,∴,∴时,.(3),图象如下:又∵恒过定点,联立,得,,得,,(舍),此时直线与,相切,∴若方程在区间上恰好有4解,则.∴实数的取值范围为专项突破三抽象函数周期性1.定义在上的函数满足,则下列是周期函数的是( )A. B.C. D.【解析】依题意,定义在上的函数满足,所以,所以是周期为的周期函数.故选:D2.已知函数的图象关于直线对称,函数关于点对称,则下列说法正确的是( )A. B. C.的周期为2 D.【解析】因为函数的图象关于直线对称,所以,即.用x代换上式中的2x,即可得到,所以关于直线对称.函数关于点对称,所以,即所以关于点对称.对于,令x取x+1,可得:.对于,令x取x+2,可得:.所以,令x取-x,可得:,所以,令x取x+2,可得:,即的最小正周期为4.所以C、D错误;对于B:对于,令x取x-3,可得:.因为的最小正周期为4,所以,所以,即.故B正确.对于A:由,可得为对称轴,所以不能确定是否成立.故A错误.故选:B3.已知是奇函数,则下列等式成立的是( )A. B.C. D.【解析】是奇函数,则有,即,故选项A判断正确;选项B判断错误;把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度,可以得到函数的图像,则由函数有对称中心,可知函数有对称中心.选项C:由,可得函数的周期为2.判断错误;选项D:由,可得函数有对称轴.判断错误.故选:A4.定义在上的奇函数满足恒成立,若,则的值为( )A.6 B.4 C.2 D.0【解析】∵定义在上的奇函数满足恒成立,∴,∴,又∴,,,∴.故选:C.5.若定义在实数集R上的偶函数满足,,对任意的恒成立,则( )A.4 B.3 C.2 D.1【解析】,则,所以,即,为周期函数,最小正周期为4,则,令得:,即,又因为为偶函数,所以,故,即,因为,所以.故选:D6.定义在正整数上的函数满足,则( )A. B. C. D.【解析】①,,②由①②可得,,,所以函数的周期,,故选:C7.函数对任意都有成立,且函数的图象关于原点对称,,则( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】函数的图象关于对称,且把向左平移1个单位可得的图象,函数的图象关于对称,即函数为奇函数,,,又,,,函数是以4为周期的周期函数,,(1),(2),即有.故选:D.8.已知是定义域为R的偶函数,,,.若是偶函数,则( )A.-3 B.-2 C.2 D.3【解析】因为为偶函数,则关于对称,即.即,即,也满足.又是定义域为R偶函数,关于y轴对称,∴,,∴周期为4,∴,∴.故选:D.9.已知定义在上的函数,满足,,且,则( )A. B. C. D.【解析】,,是奇函数,,.,,由,,的周期为...故选:C10.已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则下列等式不一定成立的是( )A. B. C. D.【解析】由题意,为偶函数,则…①,为奇函数,则…②,由①②,…③,由③,…④.根据②,令,则,B正确;根据③,令,则,A正确;根据④,,D正确;而无法确定.故选:C.11.已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则=( )A. B.0 C.1 D.2【解析】因为为偶函数,所以,所以,因为为奇函数,所以,,所以,所以,所以,所以是以4为周期的周期函数,所以,故选:B12.已知函数对满足:,,且,若,则( )A. B.2 C. D.4【解析】因为,∴,又故,即,所以函数的周期为6,由已知可得当时,,,又,所以,并且,所以,故选A.13.已知函数的定义域为,且是偶函数,是奇函数,则下列命题正确的个数是( )①;②;③;④.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】因为是偶函数,所以,令,则,故,所以,即,所以函数关于直线对称,因为是奇函数,所以,且函数关于对称,又因函数是由函数向右平移1个单位得到,所以关于对称,所以,所以,所以,则,即,所以函数的一个周期为,故有,故①正确;由函数关于直线对称,,所以,所以,故②正确;因为,因为关于对称,所以,所以,故③正确;又,故④正确,所以正确的个数为4个.故选:D.14.函数的定义域为,且为奇函数,为偶函数,则( )A. B.C.为偶函数 D.为奇函数【解析】因为为奇函数,为偶函数,所以图像关于对称,同时关于直线对称;所以,,故A选项错误;所以,,故B选项正确;所以,即函数为周期函数,周期为.所以,即函数为偶函数,故C选项正确;所以,故函数为奇函数,D选项正确;故选:BCD15.已知是上的奇函数,是上的偶函数,且当时,,则下列说法正确的是( )A.最小正周期为4 B.C. D.【解析】因为是偶函数,所以,又因为是奇函数,所以,所以,所以,所以,所以的周期为,故A错误;又当时,,所以,选项B正确;,选项C正确;,选项D正确.故选:BCD.16.已知定义在R上的函数满足,且函数的图象关于对称,则___________.【解析】,,,所以函数是以12为周期的函数,又函数的图象关于对称,利用函数图像平移知,函数的图象关于对称,即,所以17.定义在实数集上的偶函数满足,则____________.【解析】因为,所以,即,即,令,则,所以,故函数的周
高考数学专题08 函数的周期性(解析版)
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