专题22函数及其性质(2020-2022年真题练)一、单选题1.(2022·全国·高考真题(理))函数在区间的图象大致为( )A.B.C. D.【解析】令,则,所以为奇函数,排除BD;又当时,,所以,排除C.故选:A.2.(2022·全国·高考真题(文))如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像,则该函数是( )A. B. C. D.【解析】设,则,故排除B;设,当时,,所以,故排除C;设,则,故排除D.故选:A.3.(2022·全国·高考真题)已知函数的定义域为R,且,则( )A. B. C.0 D.1【解析】因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.因为,,,,,所以一个周期内的.由于22除以6余4,所以.故选:A.4.(2022·全国·高考真题(理))已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则( )A. B. C. D.【解析】因为的图像关于直线对称,所以,因为,所以,即,因为,所以,代入得,即,所以,.因为,所以,即,所以.因为,所以,又因为,联立得,,所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,所以因为,所以.所以.故选:D5.(2021·天津·高考真题)函数的图像大致为( )A.B.C. D.【解析】设,则函数的定义域为,关于原点对称,又,所以函数为偶函数,排除AC;当时,,所以,排除D.故选:B.6.(2021·北京·高考真题)已知是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】若函数在上单调递增,则在上的最大值为,若在上的最大值为,比如,但在为减函数,在为增函数,故在上的最大值为推不出在上单调递增,故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件,故选:A.7.(2021·全国·高考真题(文))下列函数中是增函数的为( )A. B. C. D.【解析】对于A,为上的减函数,不合题意,舍.对于B,为上的减函数,不合题意,舍.对于C,在为减函数,不合题意,舍.对于D,为上的增函数,符合题意,故选:D.8.(2021·浙江·高考真题)已知函数,则图象为如图的函数可能是( )A. B.C. D.【解析】对于A,,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除A;对于B,,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除B;对于C,,则,当时,,与图象不符,排除C.故选:D.9.(2021·全国·高考真题(文))设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )A. B. C. D.【解析】由题意可得:,而,故.故选:C.10.(2021·全国·高考真题(理))设函数,则下列函数中为奇函数的是( )A. B. C. D.【解析】由题意可得,对于A,不是奇函数;对于B,是奇函数;对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选:B11.(2021·全国·高考真题)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )A. B. C. D.【解析】因为函数为偶函数,则,可得,因为函数为奇函数,则,所以,,所以,,即,故函数是以为周期的周期函数,因为函数为奇函数,则,故,其它三个选项未知.故选:B.12.(2021·全国·高考真题(理))设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )A. B. C. D.【解析】因为是奇函数,所以①;因为是偶函数,所以②.令,由①得:,由②得:,因为,所以,令,由①得:,所以.思路一:从定义入手.,所以.思路二:从周期性入手,由两个对称性可知,函数的周期.所以.故选:D.13.(2020·山东·高考真题)已知函数的定义域是,若对于任意两个不相等的实数,,总有成立,则函数一定是( )A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数【解析】对于任意两个不相等的实数,,总有成立,等价于对于任意两个不相等的实数,总有.所以函数一定是增函数.故选:C14.(2020·山东·高考真题)函数的定义域是( )A. B. C. D.【解析】由题知:,解得且.所以函数定义域为.故选:B15.(2020·山东·高考真题)已知函数是偶函数,当时,,则该函数在上的图像大致是( )A. B.C. D.【解析】当时,,所以在上递减,是偶函数,所以在上递增.注意到,所以B选项符合.故选:B16.(2020·天津·高考真题)函数的图象大致为( )A. B.C. D.【解析】由函数的解析式可得:,则函数为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD错误;当时,,选项B错误.故选:A.17.(2020·北京·高考真题)已知函数,则不等式的解集是( ).A. B.C. D.【解析】因为,所以等价于,在同一直角坐标系中作出和的图象如图:两函数图象的交点坐标为,不等式的解为或.所以不等式的解集为:.故选:D.18.(2020·浙江·高考真题)函数y=xcosx+sinx在区间[–π,π]的图象大致为()A.B.C. D.【解析】因为,则,即题中所给的函数为奇函数,函数图象关于坐标原点对称,据此可知选项CD错误;且时,,据此可知选项B错误.故选:A.19.(2020·全国·高考真题(文))设函数,则( )A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【解析】因为函数定义域为,其关于原点对称,而,所以函数为奇函数.又因为函数在上单调递增,在上单调递增,而在上单调递减,在上单调递减,所以函数在上单调递增,在上单调递增.故选:A.20.(2020·海南·高考真题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,所以在上也是单调递减,且,,所以当时,,当时,,所以由可得:或或,解得或,所以满足的的取值范围是,故选:D.21.(2020·全国·高考真题(理))设函数,则f(x)( )A.是偶函数,且在单调递增 B.是奇函数,且在单调递减C.是偶函数,且在单调递增 D.是奇函数,且在单调递减【解析】由得定义域为,关于坐标原点对称,又,为定义域上的奇函数,可排除AC;当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,排除B;当时,,在上单调递减,在定义域内单调递增,根据复合函数单调性可知:在上单调递减,D正确.故选:D.二、多选题22.(2022·全国·高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )A. B. C. D.【解析】因为,均为偶函数,所以即,,所以,,则,故C正确;函数,的图象分别关于直线对称,又,且函数可导,所以,所以,所以,所以,,故B正确,D错误;若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.故选:BC.三、双空题23.(2022·全国·高考真题(文))若是奇函数,则_____,______.【解析】因为函数为奇函数,所以其定义域关于原点对称.由可得,,所以,解得:,即函数的定义域为,再由可得,.即,在定义域内满足,符合题意.故答案为:;.24.(2022·浙江·高考真题)已知函数则________;若当时,,则的最大值是_________.【解析】由已知,,所以,当时,由可得,所以,当时,由可得,所以,等价于,所以,所以的最大值为.25.(2022·北京·高考真题)设函数若存在最小值,则a的一个取值为________;a的最大值为___________.【解析】若时,,∴;若时,当时,单调递增,当时,,故没有最小值,不符合题目要求;若时,当时,单调递减,,当时,∴或,解得,综上可得;故答案为:0(答案不唯一),1四、填空题26.(2022·北京·高考真题)函数的定义域是_________.【解析】因为,所以,解得且,故函数的定义域为;27.(2022·上海·高考真题)已知为奇函数,当时,,且关于直线对称,设的正数解依次为、、、、、,则________【解析】因为为奇函数,所以,且,又关于直线对称,所以,所以,则,所以函数是以4为周期的周期函数,作出函数和的图像如图所示:由的正数解依次为、、、、、,则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2,所以.28.(2021·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.①;②当时,;③是奇函数.【解析】取,则,满足①,,时有,满足②,的定义域为,又,故是奇函数,满足③.故答案为:(答案不唯一,均满足)29.(2021·浙江·高考真题)已知,函数若,则___________.【解析】,故,30.(2021·湖南·高考真题)已知函数为奇函数,.若,则____________【解析】因为,,所以,,因为为奇函数,所以,由,得,因为,所以.31.(2021·全国·高考真题)已知函数是偶函数,则______.【解析】因为,故,因为为偶函数,故,时,整理得到,故,32.(2020·北京·高考真题)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为,用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在这三段时间中,在的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是____________________.【解析】表示区间端点连线斜率的负数,在这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强;①正确;甲企业在这三段时间中,甲企业在这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在的污水治理能力最强.④错误;在时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②正确;在时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;③正确;故答案为:①②③五、解答题33.(2021·湖南·高考真题)已知函数(1)画出函数的图象;(2)若,求的取值范围.【解析】(1)函数的图象如图所示:(2),当时,,可得:,当,,可得:,所以的解集为:,所以的取值范围为.34.(2021·江苏·高考真题)已知函数是定义在上的偶函数,当时,(,且).又直线恒过定点A,且点A在函数的图像上.(1)求实数的值;(2)求的值;(3)求函数的解析式.【解析】(1)由直线过定点可得:,由,解得,所以直线过定点.又因为时,,所以,有,.(2),因为为偶函数,所以,所以.(3)由(1)知,当时,.当时,,,又为偶函数,所以,综上可知,.35.(2021·全国·高考真题(文))已知函数.(1)画出和的图像;(2)若,求a的取值范围.【解析】(1)可得,画出图像如下:,画出函数图像如下:(2),如图,在同一个坐标系里画出图像,是平移了个单位得到,则要使,需将向左平移,即,当过时,,解得或(舍去),则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.36.(2020·山东·高考真题)已知函数.(1)求的值;(2)求,求实数的取值范围.【解析】(1)因为,所以,因为,所以.(2)因为,则,因为,所以,即,解得.
高考数学专题22 函数及其性质(2020-2022年真题练)(解析版)
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