高考数学专题10 函数的单调性和奇偶性综合(解析版)

专题10函数的单调性和奇偶性综合1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ）A． B． C． D．【解析】在单调递增，A错误；为奇函数，B错误；为偶函数，且在上单调递减，，故符合题意，C正确；为偶函数，当时，为对勾函数，在单调递减，在上单调递增，故不合题意，D错误.故选：C2．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，，.故选：B3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】依题意函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上递增，.画出的大致图象如下图所示，由图可知，不等式的解集为.故选：A4．设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（       ）A．或 B．或C．或 D．或【解析】当时，得出，因为在上是减函数，所以；当时，得出，因为在上是减函数，所以即的解集是或，故选：D5．若函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】的定义域为,因为，所以是奇函数，所以不等式可化为，因为在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，解得，故选：A.6．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有．则当时，有（       ）A． B．C． D．【解析】对任意的，，所以函数在上为增函数，又因为函数在R上的偶函数，所以函数在上为减函数，且，因为，所以.所以.故选：A7．已知函数，若实数a满足，则a的取值范围（       ）A． B． C． D．【解析】的定义域为，且，所以是偶函数.当时，，和在上递增，所以在上递增，而是偶函数，故在上递减.依题意，即，即，所以，所以的取值范围是，故选：D8．已知偶函数在上是增函数，若，则的大小关系为（       ）A． B． C． D．【解析】由题得，因为函数在上是增函数，且，所以.故选：B9．已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】依题意：函数的图象关于对称，则，且在上单调递增，故，所以，故选：A.10．已知奇函数在上单调递增，，则关于的不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】由已知可得，，由可得，因为奇函数在上单调递增，则，所以，，解得.故选：A.11．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，则，，的大小关系是（       ）A． B． C． D．【解析】因为且，有，所以函数在上单调递增，由为偶函数，得函数在上单调递减，因为，，所以，即.故选：A12．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为，故选：D13．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递增，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】因为，所以关于对称，因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以，即，解得，故选：C.14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（       ）A．(，1) B．(－∞，1) C． D．【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴为定义在上的偶函数，又∵，∴在上递减，则在上递增，即，则解得：．故选：D．15．已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】对于任意，不等式恒成立，即对于任意，不等式恒成立，所以在上单调递减，因为函数是定义在上的偶函数，所以在上单调递增，且，则，解得，故选：B16．若在定义域内的任意都满足，则称为奇函数，可知奇函数的图象关于原点中心对称；若在定义域内的任意都满足，则称为偶函数，可知偶函数的图象关于轴对称.知道了这些知识现在我们来研究如下问题：已知函数，是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【解析】根据题意，，则，两式相加可得，又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，所以，即，若对于任意，都有，变形可得，令，则在上单调递增；所以，若，则在上单调递增，满足题意；若，则是对称轴为的二次函数，若在上单调递增，只需或，解得或，综上，．即的取值范围为：，．故选：C．17．已知函数，则关于不等式的解集为（          ）A． B． C． D．【解析】设，则函数的定义域为，，即函数为奇函数，因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，设，，，则，故函数的定义域为，且，所以，，则函数为上的奇函数，当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，令，则函数在上为增函数，且，即函数为奇函数，由可得，即，所以，，解得.因此，不等式的解集为.故选：C.18．已知函数，，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】由题意，，由于，故为奇函数，当时，递增，故递增，故当时，递增，而，故函数在上单调递增，且时，，时，，故对于，当时，即为，即，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；当时，不等式即，由于，故不成立,说明不是不等式的解，故A错误,故选：D19．已知定义在上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（是函数的导函数），若，，，则、、的大小关系是（        ）A． B．C． D．【解析】构造函数，则该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，，所以，函数在上为减函数，所以，函数在上为增函数，因为，，，且，所以，.故选：C.20．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【解析】因为定义在上的偶函数，则，即是R上的偶函数，又在上单调递增，则在上单调递减，，即，因此，，平方整理得：，解得，所以原不等式的解集是.故选：B21．(多选)已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（       ）A． B．C． D．【解析】由题，是定义在上的奇函数，故，又，所以，故A成立；又函数是定义在上的减函数，且，所以，故，故B不一定成立；，因为，故，故，故C成立，D不成立；故选：AC22．是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有；当时，，且，则函数在上的最大值为__________．【解析】是定义在R上的奇函数，设，则，因为，所以，所以，即函数在R上单调递减，函数在上也单调递减，因为，所以，，所以函数的最小值为，函数的最大值为．23．若函数为奇函数，则关于的不等式的解集为______．【解析】，得，即时，，在上单调递减，又为奇函数，故在上单调递减，，由为奇函数可化为，得，解得24．已知函数，，若，则实数的取值范围是______.【解析】，由，得是定义域上的奇函数，函数在上单调递增，，在上单调递增，因此，函数在上单调递增，则，等价于，解得，所以实数的取值范围是.25．若函数，则不等式的解集为______．【解析】∵且定义域为R，∴为偶函数，则，由，即，又，令，，由，单增，，单增，故在上单调递增，又在上单调递减，由函数单调性的加减法则，所以时单调递减，所以，得：，即或，解得或．故答案为：．26．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意m，都有，且.若，则实数a的取值范围是______.【解析】对任意m，都有,可知在是单调递增函数，由可得：，又根据函数是定义在R上的偶函数，即有，即，所以，即或，解得或，故答案为：27．已知，若恒成立，则实数的取值范围___．【解析】因为，所以是上的奇函数，，，所以是上的增函数，等价于，所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，，，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即.故答案为：.28．已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________.【解析】中，取得，取得，取，，得，所以是偶函数，设，则，，所以，所以在上是减函数，设，是偶函数，且在上是减函数，，，所以，且，所以m的取值范围是.29．已知函数为上的偶函数，当时，．(1)求时，的解析式；(2)写出函数的单调增区间；(3)若，求的取值范围．【解析】(1)由题意，函数为上的偶函数，当时，设，则，可得，即当时，函数的解析式为.(2)当时，，因为和都是增函数，可得在上为增函数，又因为函数为上的偶函数，所以函数在区间上为减函数，所以函数的单调递增区间为.(3)由函数为上的偶函数，且函数在区间为上单调递增，在区间单调递减，则不等式，即为，解得，即不等式的解集为.30．已知函数为R上的奇函数．(1)求的值，并用定义证明函数的单调性；(2)求不等式的解集；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【解析】(1)因为为奇函数，所以，得，所以，下面用定义法证明单调性：，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在R上单调递增.(2)由（1）知在R上单调递增，且为奇函数，故不等式即，整理得，即，解得，故不等式解集为(3)因为在R上单调递增，所以在区间上，，，故当时，，不存在符合题意的；当时，在区间上为增函数，要使对任意的，总存在，使得成立则需，即，解得，即31．设（为实常数）.(1)当时，证明：不是奇函数；(2)设是奇函数，求与的值；(3)在（2）的条件下，当时，若实数满足，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，，，所以不是奇函数.(2)若为奇函数，则，即，，，，恒成立，所以或.(3)由于，由（2）得，所以，所以是定义在上的奇函数，且在上递减，，即，即，所以.所以的取值范围是.32．已知函数，是定义在上的奇函数，且当时，，当时，.(1)若成立，求x的取值范围；(2)求在区间上的解析式，并写出的单调区间（不必证明）；(3)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数t的取值范围.【解析】(1)由，得，则.解得，所以x的取值范围是，.(2)当时，；则；当时，，则.所以因为是定义在上的奇函数，且当时，，所以所以的单调递减区间是，，递增区间是.(3)因为，所以由，得或或.由的图象知，恒成立或，即或.即或恒成立因为，则不恒成立.因为，，则恒成立，所以t的取值范围是.