高考数学微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题（原卷版）

微专题15立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题秒杀总结1.立体图形中的截面问题：（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.2.立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.3.对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的静是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.静只是动的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住静的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.典型例题例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM⊥平面，则下列说法正确的是________．①若N为中点，当AM＋MN最小时，；②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．例2．（2022·福建福州·高三期末）在正三棱柱中，，F是线段上的动点，则的最小值为___________.例3．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则的最小值为________.例4．（2022·山西晋中·模拟预测（文））如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．①；                                 ②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；③的最小值为；             ④的取值范围是．例5．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））在长方体中，，若过其对角线的平面截该长方体所得截面与边没有公共点，则截面面积的最小值是___________.例6．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足．则三棱锥的体积的最大值为______．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的外接球表面积为，点，分别在线段，上，若为正方形的中心，且，则实数的取值范围为___________.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为________.过关测试1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法不正确的是（       ）．A．过点E，F，G做四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2B．四面体ABCD的体积为C．AC与BD的公垂线段的长为D．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：42．（2022·河南·一模（理））如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的个数是（       ）①点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:2②平面截直四棱柱所得截面的面积为③平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25④平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（       ）A．不存在点使得异面直线与所成角为90°B．存在点使得异面直线与所成角为45°C．存在点使得二面角的平面角为45°D．当时，平面截正方体所得的截面面积为4．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知正方体的棱长为6，则过，，三点的平面与该正方体内切球截面的面积为（       ）A．3π B．6π C．9π D．12π5．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））在正四面体中，E为的中点，过点E作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积为S，最小的截面面积为T，则（       ）A． B． C．2 D．36．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点分别为的中点，设过点的平面为，则下列说法正确的是（       ）A．在正方体中，存在某条棱与平面平行B．在正方体中，存在某条面对角线与平面平行C．在正方体中，存在某条体对角线与平面平行D．平面截正方体所得的截面为五边形7．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（理））已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（       ）A． B．1 C． D．28．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（       ）A． B． C． D．9．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（       ）A． B． C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（     ）A．        B．        C．        D．11．（2022·河南·模拟预测（理））在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（       ）A． B．C． D．12．（2022·全国·高三专题练习）已知点在正方体表面运动，且，则直线与所成角的余弦值范围是（       ）A． B． C． D．13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知棱长为的正方体，为的中点，点在正方体的表面上运动，且，则动点的轨迹长度为（       ）A． B． C． D．14．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为4，，分别在直线，上运动，且满足，则的中点的轨迹为（       ）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆15．（2022·全国·高三开学考试（文））已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD内一动点，则下列命题正确的个数是(       )①若，则点N的轨迹长度为π.②若N到平面与直线的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分.③若N在线段AC上运动，则.④若N在线段AC上运动，则.A．1 B．2 C．3 D．416．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体，P为平面内一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为.若，则点P的轨迹是（       ）A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线17．（2022·全国·高三专题练习）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（       ）A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支二、多选题18．（2022·广东五华·一模）在菱形ABCD中，，，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则下列说法正确的是（       ）A．四面体ABCD的体积的最大值是B．四面体ABCD中BD的取值范围是C．四面体ABCD的表面积的最大值是D．当时，若折成的四面体ABCD内接于球O，则球O的体积为19．（2022·全国·高三专题练习）平行六面体中，各棱长均为2，设，则下列结论中正确的有（       ）A．当时，B．和BD总垂直C．θ的取值范围为D．θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是20．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是（       ）A．若点在线段上，则不存在点满足B．若点在线段上，则四面体的体积为定值C．若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围是，D．若点是正方体表面上的动点，则满足的动点轨迹长度为三、双空题21．（2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，，，为线段上动点，的最小值为______，当最大时，______.四、填空题22．（2022·江西九江·一模（理））已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；②M的面积最大值为；③M的周长为定值．