阿基米德三角形(解析版)

2023-11-08 · U1 上传 · 19页 · 398.6 K

阿基米德三角形【方法技巧与总结】2如图所示,AB为抛物线x=2py(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作的抛物线的切线交于点P,称△PAB为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边.1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.2.若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点Cx0,y0,则另一顶点P的轨迹为一条直线.3.若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.a34.底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.8p5.若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为p2.x+xxx6.点P的坐标为12,12;22p7.底边AB所在的直线方程为x1+x2x-2py-x1x2=0;x-x38.△PAB的面积为S=12.△PAB8p9.若点P的坐标为x0,y0,则底边AB的直线方程为x0x-py+y0=0.|AC||CE|10.如图,若E为抛物线弧AB上的动点,点E处的切线与PA,PB分别交于点C,D,则==|CP||ED||PD|.|DB|11.若E为抛物线弧AB上的动点,抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形△PAB的边PA,PB分别交于S点C,D,则△EAB=2.S△PCD212.抛物线和它的一条弦所围成的面积,等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的.3【题型归纳目录】题型一:定点问题题型二:交点的轨迹问题题型三:切线垂直问题题型四:面积问题题型五:外接圆问题题型六:最值问题题型七:角度相等问题【典例例题】题型一:定点问题例1.已知点A(0,-1),B(0,1),动点P满足|PB||AB|=PA⋅BA.记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设D为直线y=-2上的动点,过D作C的两条切线,切点分别是E,F.证明:直线EF过定点.【解析】解:(1)设P(x,y),则PA=(-x,-1-y),PB=(-x,1-y)AB=(0,2),BA=(0,-2),所以|PB||AB|=PA⋅BA,所以(-x)2+(1-y)2=1+y化简得x2=4y,所以C的方程为x2=4y.(2)由题意可设D(t,-2),E(x1,y1),F(x2,y2),由题意知切线DE,DF的斜率都存在,2xxx1由x2=4y,得y=,则y′=,所以k=,42DE2xxx2直线DE的方程为y-y=1(x-x),即y-y=1x-1,①121122x2因为E(x,y)在x2=4y上,所以x2=4y,即1=2y,②111121将②代入①得x1x-2y1-2y=0,所以直线DE的方程为x1x-2y1-2y=0,同理可得直线DF的方程为x2x-2y2-2y=0,因为D(t,-2)在直线DE上,所以tx1-2y1+4=0,又D(t,-2)在直线DF上,所以tx2-2y2+4=0,所以直线EF的方程为tx-2y+4=0,故直线EF过定点(0,2).x21例2.已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.22(1)证明:直线AB过定点.5(2)若以E0,为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.21【解析】(1)证明:设Dt,-,A(x,y),则x2=2y,21111y+112由于y′=x,∴切线DA的斜率为x1,故=x1,x1-t整理得:2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.1∴直线AB过定点0,;21(2)解:由(1)得直线AB的方程y=tx+.2y=tx+122由2,可得x-2tx-1=0.y=x22于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t+1.1设M为线段AB的中点,则Mt,t2+,2由于EM⊥AB,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,t)平行,∴t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1.52当t=0时,|EM|=2,所求圆的方程为x2+y-=4;252当t=±1时,|EM|=2,所求圆的方程为x2+y-=2.2例3.在平面直角坐标系xOy中,M为直线y=x-2上一动点,过点M作抛物线C:x2=y的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,N为AB的中点.(1)证明:MN⊥x轴;(2)直线AB是否恒过一定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.22【解析】解:(1)设切点A(x1,x1),B(x2,x),22因为y=2x,所以切线MA的斜率为2x1,直线MA的方程为:y=2x1(x-x1)+x1=2x1x-x1,设M的坐标为:(t,t-2)2所以x1-2tx1+t-2=0,2直线MB的斜率为2x2,切线MB的方程为y=2x2x-x2,2所以M点是方程x2-2tx2+t-2=0,2所以x1,x2是方程x-2tx+t-2=0的两根,x1+x2=2t,x+x因为N为AB的中点.所以x=12=t,N2所以M,N的横坐标相同,即证MN⊥x轴.21(x1+x2)-2x1x2(2)由(1)得y=(x2+x2)==2t2-t+2,N212222x1-x2又因为kAB==x1+x2=2t,x1-x21所以直线AB的方程为:y-(2t2-t+2)=2t(x-t),即y-2=2tx-,21所以直线AB恒过一定点,2.2变式1.在平面直角坐标系xOy中,M为直线y=x-3上的动点,过点M作抛物线C:x2=2y的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,N为AB的中点.(1)证明:MN⊥x轴;(2)直线AB是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.x2x2【解析】解:(1)证明:设切点为Ax,1,Bx,2,12221x2=2y即y=x2的导数为y′=x,2x2所以切线MA的斜率为x,切线的方程为y-1=x(x-x),1211x2设M(t,t-3),则有t-3-1=x(t-x),2112化简可得x1-2tx1+2t-6=0,2同理可得x2-2tx2+2t-6=0,2所以x1,x2是方程x-2tx+2t-6=0的两根,所以x1+x2=2t,x1x2=2t-6,x+xx=12=t=x,N2M所以MN⊥x轴;111(2)因为y=(x2+x2)=(x+x)2-xx=t2-t+3,N412412212所以N(t,t2-t+3),221x1-x2x1+x2因为kAB=⋅==t,2x1-x22所以直线AB的方程为y-(t2-t+3)=t(x-t),即y-3=t(x-1),所以直线AB恒过定点(1,3).题型二:交点的轨迹问题32例4.已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.2(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)设点P(x0,y0)为直线l上一动点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,求直线AB的方程,并证明直线AB过定点Q;(Ⅲ)过(Ⅱ)中的点Q的直线m交抛物线C于A,B两点,过点A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,求l1,l2交点M满足的轨迹方程.32【解析】解:(Ⅰ)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,2|0-c-2|32∴=,22解得c=1或c=-5,(舍),∴抛物线C的方程为x2=4y.x2x2x(Ⅱ)设P(x,x-2),设切点为x,,曲线C:y=,y′=,004422x-(x-2)40x则切线的斜率为=y′=,x-x022化简,得x-2x0x+4x0-8=0,x2x2设Ax,1,Bx,2,则x,x是以上方程的两根,142412∴x1+x2=2x0,x1x2=4x0-8,2x2x1-244x1+x2x0kAB===,x1-x242x2x+x直线AB为:y-1=12(x-x),441化简,得:x0x-2y-2y0=0,定点Q(2,2).x2x2(Ⅲ)设Ax,1,Bx,2,1424xx2过A的切线y=1(x-x)+1,214xx2过B的切线y=2(x-x)+2,224x+xxx交点M12,1224设过Q点的直线为y=k(x-2)+2y=k(x-2)+2联立,得x2-4kx+8k-8=0,x2=4y∴x1+x2=4k,x1x2=8k-2,∴M(2k,2k-2),∴y=x-2.∴点M满足的轨迹方程为x-y-2=0.例5.已知动点Q在x轴上方,且到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1,(Ⅰ)求动点Q的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,点A,B分别异于原点O,在曲线C的A,B两点处的切线分别为l1,l2且l1,l2交于点M,求证:M在定直线上.【解析】解:(Ⅰ)动点P(x,y)(其中y>0)到x轴的距离为y,到x轴的距离为y+1.∴|PM|=y+1,又M(0,1),∴x2+(y-1)2=y+1.得轨迹C的方程:x2=4y,y≠0.(Ⅱ)证明:由题意,直线l的斜率为存在并且不为1,设直线l的方程为:y=k(x-1)+1,k≠1,与x2=4y联立,2可得x-4kx+4k-4=0,A(x1,y1),B(x2,y2),x2x∴x+x=4k,xx=4k-4,①又y=,所以y′=,121242x所以切线l的方程为:y=1(x-x)+y,1211xx2即y=1x-1,24xx2同理,切线l:y=2x-2,224x+xxx联立可得:x=12=2k,y=12=k-1,24两式相消k可得:x-2y-2=0,当k=1时,x=2,y=0,所以解得M的轨迹方程为:x-2y-2=0,去掉(2,0).交点M在定直线上.例6.已知抛物线C.y=ax2(a>0)的焦点为F,直线x=2与x轴相交于点M,与曲线C相交于点N,且4|MN|=|FN|.5(1)求抛物线C的方程;(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,求证点A的纵坐标为定值.11【解析】解:(1)由已知抛物线C:x2=y(a>0)的焦点F0,,a4a4511由|MN|=|FN|,得|FN|=4|MN|=|MN|+4a,即|MN|=,5a点N(2,4a),11所以=4a(a>0)a=,a2所以抛物线方程:x2=2y.1(2)∵抛物线x2=2y的焦点为F0,,21∴设过抛物线x2=2y的焦点的直线为y=kx+.2设直线与抛物线的交点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),x2=2y由,消去y得:x2-2kx-1=0,根据韦达定理,得xx=-1,y=kx+11221抛物线x2=2y,即二次函数y=x2,对函数求导数,得y=x,2所以抛物线在点P处的切线斜率为k1=x1,1可得切线方程为y-y=x(x-x),化简得y=xx-x2,1111211同理,得到抛物线在点Q处切线方程为y=xx-x2,222xx两方程消去x,得两切线交点A纵坐标满足y=12,A211∵xx=-1,∴yA=-,即点A的纵坐标是定值-.1222变式2.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.(Ⅰ)若以A,B为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,求抛物线C的标准方程;(Ⅱ)过A,B分别作抛物线的切线l1,l2,证明:l1,l2的交点在定直线上.p【解析】解:(1)由抛物线的定义可得+3=4,得p=2,2故抛物线C的标准方程为x2=4y,p(2)由抛物线x2=2py得其焦点坐标为F0,.2x2x2设Ax,1,Bx,2,12p22pp直线AB:y=kx+,代入抛物线方程,得:x2-2kpx-p2=0.22∴x1x2=-p⋯①.x又抛物线方程求导得y′=,pxx2x∴抛物线过点A的切线的斜率为1,切线方程为y-1=1(x-x)⋯②p2pp1xx2x抛物线过点B的切线的斜率为2,切线方程为y-2=2(x-x)⋯③p2pp2p由①②③得:y=-.2p∴l与

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