2015年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）

2015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷文科数学试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合Ax|2x4，B{x（|x1)(x3）0}，则AB()（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4z2.若复数Z满足i，其中i为虚数单位，则Z=()1i（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i3.设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()（A）a＜b＜c（B）a＜c＜b（C）b＜a＜c（D）b＜c＜a[来源:学|科|网]4.要得到函数ysi（n4x）的图象，只需要将函数ysin4x的图象（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位1212（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位335.设mR,命题“若m0,则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()（A）若方程x2xm0有实根，则m0(B)若方程x2xm0有实根，则m0(C)若方程x2xm0没有实根，则m0(D)若方程x2xm0没有实根，则m06.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：1①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为()（A）①③(B)①④(C)②③(D)②④17.在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1log（1x）1”发生的概率为()223211（A）（B）（C）（D）43342x18.若函数f(x)是奇函数，则使（fx）3成立的x的取值范围为()2xa（A）()(B)()（C）（0,1）（D）（1,）9.已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()2242（A）（B）（C）（D）3322423xb,x1510.设函数，若，则()f(x)xf(f())4b2,x16731（A）1（B）（C）(D)8422第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是.yx112.若x,y满足约束条件xy3,则zx3y的最大值为.y113.过点P（1，3）作圆x2y21的两条切线，切点分别为A,B，则PAPB=.x2y214.定义运算“”：xy（x，yR,xy0）.当x0，y0时，xyxy(2y)x的最小值是.x2y215.过双曲线C：1（a0,b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交Ca2a2于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.三、解答题：本大题共6小题，共75分．16.（本小题满分12分）[来源:Z*xx*k.Com]某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）[来源:学|科|网]参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.317.(本小题满分12分)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知36cosB,sin(AB),ac2339求sinA和c的值.18.如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（I）求证：BD//平面FGH；（II）若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.419.（本小题满分12分）1n已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.anan12n1（I）求数列an的通项公式；an（II）设bnan12，求数列bn的前n项和Tn.20.(本小题满分13分)设函数.已知曲线在点(1,f(1))处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m(x)min{f(x),g(x)}（min{p,q}表示，p,q中的较小值），求mx的最大值.521.(本小题满分14分)[来源:学科网ZXXK]x2y23平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1(>b>0)的离心率为，且点2b221（3，）在椭圆C上.2（Ⅰ）求椭圆C的方程；x2y2（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线4a24b2y=kx+m交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.|OQ|（i）求的值；|OP|(ii)求ABQ面积的最大值.62015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷文科数学试题答案一、选择题：CACBDBACBD二、填空题：3（11）13；（12）7；（13）；（14）2；（15）23；2三、解答题：（16）参考答案：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个151社团的概率为P.453(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3}，共15个.学科网根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1,B2},{A1,B3}，共2个.2因此A被选中且B未被选中的概率为P.1115（17）参考答案：36在ABC中，由cosB，得sinB.336因为ABC，所以sinCsin(AB)，953因为sinCsinB，所以CB，C为锐角，cosC，96533622因此sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.39393722caccsinA由,可得a323c，又ac23，所以c1.sinAsinCsinC69（18）参考答案：（I）证法一：连接DG,CD.设CDGFM,连接MH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G分别为AC的中点，可得DF//GC,DFGC，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以HM//BD,又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD//平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF,H为BC的中点，可得BH//EF,BHEF,所以HBEF为平行四边形，可得BE//HF.在ABC中，G，H分别为AC，BC的中点，所以GH//AB,又GHHFH，所以平面FGH//平面ABED，因为BD平面ABED，所以BD//平面FGH.(II)证明：连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH//AB,由ABBC,得GHBC，又H为BC的中点，所以EF//HC,EFHC,因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF//HE.又CFBC，所以HEBC.又HE,GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH，又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.（19）参考答案：（I）设数列an的公差为d，11令n1,得，所以a1a23.a1a238112令n2,得，所以a2a315.a1a2a2a35解得a11,d2，所以an2n1.2n4n12n（II）由（I）知bn2n2n4,所以Tn1424......n4,23nn1所以4Tn1424......(n1)4n4,12nn1两式相减，得3Tn44......4n44(14n)13n4n4n14n1,14333n144(3n1)4n1所以T4n1.n999（20）参考答案：（I）由题意知，曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为2，所以f'(1)2，a又f'(x)lnx1,所以a1.x（II）k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根.x2设h(x)f(x)g(x)(x1)lnx,ex当x(0,1]时，h(x)0.44又h(2)3ln2ln8110,e2e2所以存在x0(1,2)，使h(x0)0.1x(x2)1因为h'(x)lnx1,所以当x(1,2)时，h'(x)10，当xexex(2,)时，h'(x)0，所以当x(1,)时，h(x)单调递增.所以k1时，方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x(0,x0)时，9(x1)lnx,x(0,x]0，时，，所以2.f(x)g(x)x(x0,)f(x)g(x)m(x)xx,x(x0,)e当x(0,x0)时，若x(0,1],m(x)0;1若x(1,x),由m'(x)lnx10,可知0m(x)m(x);故m(x)m(x).0x00x(2x)当x(x,)时，由m'(x),可得x(x,2)时，m'(x)0,m(x)单调递增；0ex0x(2,)时，m'(x)0,m(x)单调递减；[来源:学科网]4可知m(x)m(2),且m(x)m(2).e204综上可得函数m(x)的最大值为.e2（16）参考答案：31a2b23（I）由题意知1,又，解得a24,b21，a24b2a2x2所以椭圆C的方程为y21.4x2y2（II）由（I）知椭圆E的方程为1.164|OQ|（i）设P(x,y),,由题意知Q(x,y).00|OP|00x2(x)2(y)22x2因为0y21.又001，即(0y2)1.40164440|OQ|所以2，即2.|OP|（ii）设A(x1,y1),B(x2,y2),将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0,可得m2416k2………………①108km4m216416k24m2则有xx,xx.所以|xx|.因为直线1214k21214k21214k2ykxm与y轴交点的坐标为(0,m)，所以OAB的面积12|m|16k24m22(16k24m2)m2S|m||xx|21214k214k2m2m22(4).14k214k2m2设t.将直线ykxm代入椭圆C的方程，可得14k2(14k2)x28kmx4m240，由0,可得m214k2………………②由①②可知0t1,S2(4t)t2t24t.故S23.当且仅当t1，即m214k2时取得最大值23.由（i）知，ABQ的面积为3S，所以ABQ面积的最大值为63.11