2014年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）

2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知a,bR,i是虚数单位.若ai＝2bi，则(abi)2(A)34i(B)34i(C)43i(D)43i2(2)设集合A{x|x2x0},B{x|1x4}，则AB(A)(0,2](B)(1,2)(C)[1,2)(D)(1,4)1(3)函数f(x)的定义域为log2x1(A)(0,2)(B)(0,2](C)(2,)(D)[2,)(4)用反证法证明命题：“设a,b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)方程x3axb0没有实根(B)方程x3axb0至多有一个实根(C)方程x3axb0至多有两个实根(D)方程x3axb0恰好有两个实根(5)已知实数x,y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是(A)x3y3(B)sinxsiny11(C)ln(x21)ln(y21)(D)x21y21(6)已知函数yloga(xc)(a,c为常数，其中a0,a1)的图象如右图，则下列结论成立的是EOx(A)a0,c1(B)a1,0c1(C)0a1,c1(D)0a1,0c1(7)已知向量a(1,3),b(3,m).若向量a,b的夹角为，则实数m6(A)23(B)3(C)0(D)3(8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为1频率/组距0.360.240.160.08131516171214舒张压/kPa(A)6(B)8(C)12(D)18(9)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A)f(x)x(B)f(x)x3(C)f(x)tanx(D)f(x)cos(x1)xy10,(10)已知x,y满足约束条件当目标函数zaxby(a0,b0)在该约束条件下取2xy30,到最小值25时，a2b2的最小值为(A) 5(B)4(C)5(D)2第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.(11)执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值开始为 .32(12)函数ysin2xcosx的最小正周期为 .输入x2一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长(13)232n0都相等，则该六棱锥的侧面积为 。(14)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴否x34x30所得弦的长为23，则圆C的标准方程为 。x2y2是(15)已知双曲线1(a0,b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛a2b2xx1输入x物线x22py(p0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为 。nn1结束三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；2（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(17)（本小题满分12分）6ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知a3,cosA,BA.32（Ｉ）求b的值；（II）求ABC的面积.(18)（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，1AP平面PCD,AD∥BC,ABBCAD,E,F分别为线段2PAD,PC的中点.（Ｉ）求证：AP∥平面BEF；F（）求证：BE平面PACII.D(19)（本小题满分12分）AE在等差数列{a}中，已知公差d2，a是a与a的等比中项.n214CB（Ｉ）求数列{an}的通项公式；n（II）设bnan(n1)，记Tnb1b2b3b4…(1)bn，求Tn.2(20)（本小题满分13分）x1设函数f(x)alnx，其中a为常数.x1（Ｉ）若a0，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（II）讨论函数f(x)的单调性.(21)（本小题满分14分）x2y23在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截a2b22410得的线段长为.5（Ｉ）求椭圆C的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点.（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1,k2，证明存在常数使得k1k2，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值.32014年高考山东卷文科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。（1）已知a,bR,i是虚数单位，若ai2bi，则（abi）2（A）34i（B）34i（C）43i（D）43i【解析】由ai2bi得，a2，b1，（abi）2(2i)244ii234i故答案选A2（2）设集合A{xx2x0},B{x1x4},则AB（A）(0,2]（B）(1,2)（C）[1,2)（D）(1,4)【解析】A(0，2)，B1,4，数轴上表示出来得到AB[1,2)故答案为C1（3）函数f(x)的定义域为log2x1（A）(0，2)（B）(0,2]（C）(2,)（D）[2，)【解析】log2x10故x2。选D（4）用反证法证明命题“设a,bR,则方程x2axb0至少有一个实根”时要做的假设是（A）方程x2axb0没有实根（B）方程x2axb0至多有一个实根（C）方程x2axb0至多有两个实根（D）方程x2axb0恰好有两个实根【解析】答案选A，解析略。（5）已知实数x,y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成龙的是（A）x3y3（B）sinxsiny11（C）ln(x21)ln(y21)（D）x21y21【解析】由axay(0a1)得，xy，但是不可以确定x2与y2的大小关系，故C、D排除，而ysinx本身是一个周期函数，故B也不对，x3y3正确。（6）已知函数yloga(xc)(a,c。。。。。。a0,a1)的图像如右图，则下列结论成立的是（）（）Aa1,c1Ba1,0c1（）（）C0a1,c1D0a1,0c1【解析】由图象单调递减的性质可得0a1，向左平移小于1个单位，故0c1答案选Cπ（7）已知向量a(1,3),b(3,m).若向量a,b的夹角为，则实数m=6（A）23（B）3（C）0（D）3【解析】：4ab33m3ababcosa,b29m22233m39mm3答案：B（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A）6（B）8（C）12（D）18【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450500.361818612答案：C（9）对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2a-x)，则称f(x)为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是（）（）2（）（）Af(x)xBf(x)xCf(x)tanxDf(x)cos(x1)【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。答案：Dx-y-10,（10）已知x,y满足的约束条件当目标函数zaxby(a0,b0)在该约束条件下取2x-y-30,得最小值25时，a2b2的最小值为（A）5（B）4（C）5（D）2xy10【解析】：求得交点为2,1，则2ab25，即圆心0,0到直线2xy30225的距离的平方2。2ab250245答案：B二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。11．执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为。【解析】：根据判断条件x24x30，得1x3，输入x1第一次判断后循环，xx12,nn11第二次判断后循环，xx13,nn12第三次判断后循环，xx14,nn13第四次判断不满足条件，退出循环，输出n3答案：3312．函数ysin2xcos2x的最小正周期为。25323111【解析】：ysin2xcosxsin2xcos2xsin2x2222622T.2答案：T13．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。【解析】：设六棱锥的高为h，斜高为h，2112则由体积V22sin606h23得：h1，h3h2321侧面积为2h612.2答案：1214．圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长23，则圆C的标准方程为。22aa2【解析】设圆心a,a0，半径为a.由勾股定理3a得：a22222圆心为2,1，半径为2，圆C的标准方程为x2y1422答案：x2y14x2y215．已知双曲线1a0,b0的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22pyp0的焦a2b2点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FAc，则双曲线的渐近线方程为。P【解析】由题意知c2a2b，2P抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为c,，2c2b2c2即c,b代入双曲线方程为1，得2，a2b2a2bc2渐近线方程为yx，11.aa2答案：1三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分12分）海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。地区ABC数量50150100（Ⅰ）求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的6概率。（16）【解析】：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：A:B:C50:150:1001:3:2132所以各地区抽取商品数为：A:61，B:63，C:62；666（Ⅱ）设