2015年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2015年高考山东省理科数学真题一、选择题21.已知集合Ax|x4x30，Bx|2x4，则AB（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）Z2.若复数Z满足i，其中i为虚数为单位，则Z=（）1iA．1-iB．1+iC．-1-iD．-1+i3.要得到函数ysin(4x)的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（）3A．向左平移个单位B．向右平移个单位1212C．向左平移个单位D．向右平移个单位334.已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则BDCD（）3333A．a2B．a2C．a2D．a224425.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（）A．(,4)B．(,1)C．（1，4）D．（1，5）xy06.已知x,y满足约束条件xy2，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）y0A．3B．2C．-2D．-37.在梯形ABCD中，ABC，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周2而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）245A．B．C．D．23338.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布N(,2)，则P()68.26%，P(22)95.44%。）A．4.56%B．12.59%C．27.18%D．31.74%9.一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为（）53325443A．或B．或C．或D．或352345343x1,x110.设函数f(x)，则满足f(a)的a取值范围是（）xf(f(a))22,x122A．[,1]B．[0，1]C．[,)D．[1,)33二、填空题11.观察下列各式：00C1=4011C3C340122C5C5C5401233C7C7C7C74……012n-1照此规律，当当nN时，C2n-1+C2n-1+C2n-1+…+C2n-1=.12.若“x[0，]，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为.413.执行下面的程序框图，输出的T的值为.x14.已知函数f(x)ab(a0,a1)的定义域和值域都是1,0，则ab________22xy215.平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：x=2py(p>0)交于a2b2O，若ABC的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为___________．216.设f(x)sinxcosxcosx(x)。4（Ⅰ）求f（x）的单调区间；A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求面ABC积的最2大值。17.如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点。（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小。设数列的前项和为。已知n。18.{an}nSn2Sn33（）求的通项公式；Ⅰ{an}（）若数列满足2，求的前项和。Ⅱ{bn}anbn=log3{bn}nTn19.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.x2y2320.平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是a2b22F1、F2。以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆퐶上。（Ⅰ）求椭圆C的方程；x2y2（Ⅱ）设椭圆E:1为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，4a24b2射线PO交椭圆E于点Q.|OQ|（i）求的值；|OP|（ii）求ABQ面积的最大值。将ykxm代入椭圆C的方程21设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中R。（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若x0,f(x)0成立，求的取值范围。2015年高考山东省理科数学真题答案一、选择题1.答案：C解析过程：Ax1x3，Bx2x4，所以ABx2x3，选C2.答案：A解析过程：z因为i，所以，zi1i1i1i所以，z1i，选A3.答案：B解析过程：因为ysin(4x)sin4(x)，312所以，只需要将函数ysin4x的图象向右平移个单位，选B124.答案：D解析过程：因为BDCDBDBABABCBA23=BABCBAa2a2cos60a2，选D.25.答案：A解析过程：原不等式可转化为以下三个不等式的并集：x1（Ⅰ），解得xx11xx521x5（Ⅱ），解得x1x4x1x52x5（Ⅲ），解得x1x52综上，原不等式的解集为xx4，选A6.答案：B解析过程：作出可行域如图若zaxy的最大值为4，则最优解可能为A(1,1)或B(2,0)经检验A(1,1)不是最优解，B(2,0)是最优解，此时a27.答案：C解析过程：直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：15VVV122121，选C圆柱圆锥338.答案：B解析过程：用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：1P36P66P3320.95440.68260.1359，选B.29.答案：D解析过程：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为：y3k(x2)，即kxy2k30又因为光线与圆相切，(x3)2(y2)213k22k3所以，1，整理得12k225k120k2143解得：k或k，选D3410.答案：C解析过程：当a1时，fa2a1，所以，f(f(a))2f(a)，即a1符合题意；当a1时，f(a)3a1，若f(a)1，22即3a11，a，所以a1符合题意；332综上，a的取值范围是[,)，选C3二、填空题11.答案：4n1解析过程：由归纳推理得：012n1n1C2n1C2n1C2n1C2n1412.答案：1解析过程：ytanx在0,上单调递增，所以4ytanx在0,上的最大值为tan144由题意得，m11113.答案：6解析过程：初始条件n1,T1,n3成立；113运行第一次：T1xdx1,n2,n3成立；022313111运行第二次：Tx2dx,n3,n3不成立；2023611输出T的值：.结束614.答案：32解析过程：若a1，则fx在1,0上为增函数a1b1所以，此方程组无解；1b0若0a1，则fx在1,0上为减函数1a1b0a3所以，解得2，所以ab1b12b2315.答案：2解析过程：b设OA所在的直线方程为yx,ab则OB所在的直线方程为yxa2pbbxyxa解方程组得：，a222pbx2pyya22pb2pb2所以点的坐标为A,2aap抛物线的焦点F的坐标为:0,2因为F是ABC的垂心，所以kOBkAF12pb2p2b2b5所以，a212a2pba4ac2b293所以，e21ea2a24216.答案：3（I）单调递增区间是k,kkz；单调递减区间是k,kkz444423（II）ABC面积的最大值为4解析过程：sin2x1cos(2x)（I）由题意知f(x)222sin2x1sin2x1sin2x222由2k2x2k，kz，22可得kxk，kz，443由2k2x2k，kz，223可得kxk，kz，44所以，函数fx的单调递增区间是k,k（kz）443函数fx的单调递减区间是k,k（kz）44A11（II）由f()sinA0，得sinA2223由题意得A为锐角，所以cosA2由余弦定理：a2b2c22bcosA可得：13bcb2c22bc即：bc23，当且仅当bc时等号成立123因此bcsinA2423所以ABC面积的最大值为417.答案：（I）详见解析；（II）60解析过程：（I）证法一：连接DG,CD.设CDGFM,连接MH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G分别为AC的中点，可得DF//GC,DFGC，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以HM//BD,又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD//平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF,H为BC的中点，可得BH//EF,BHEF,所以HBEF为平行四边形，可得BE//HF.在ABC中，G，H分别为AC，BC的中点，所以GH//AB,又GHHFH，所以平面FGH//平面ABED，因为BD平面ABED，所以BD//平面FGH.（Ⅱ）解法一：设AB2，则CF1在三棱台DEFABC中，G为AC的中点1由DFACGC，2可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG//CF又FC平面ABC所以DG平面ABC在ABC中，由ABBC,BAC45，G是AC中点，所以ABBC,GBGC因此GB,GC,GD两两垂直,以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz所以G0,0,0,B2,0,0,C0,2,0,D0,0,122可得H,,0,F0,2,12222故GH,,0,GF0,2,122设nx,y,z是平面FGH的一个法向量，则nGH0,xy0由可得nGF0,2yz0可得平面FGH的一个法向量n1,1,2因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB2,0,0GBn21所以cosGB,n|GB||n|222所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为60解法二：作HMAC于点M，作MNGF于点N，连接NH由FC平面ABC，得HMFC又FCACC所以HM平面ACFD因此GFNH所以MNH即为所求的角12在BGC中,MH