2016年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2016·山东理，1)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i2．(2016·山东理，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)3．(2016·山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A．56B．60C．120D．1404．(2016·山东理，4)若变量x，y满足Error!则x2＋y2的最大值是( )A．4B．9C．10D．125．(2016·山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )1212A.＋πB.＋π3333122C.＋πD．1＋π3666．(2016·山东理，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(2016·山东理，7)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是( )πA.B．π23πC.D．2π218．(2016·山东理，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，3则实数t的值为( )99A．4B．－4C.D．－449．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，111f(－x)＝－f(x)；当x>时，fx＋＝fx－，则f(6)等于( )2(2)(2)A．－2B．－1C．0D．210．(2016·山东理，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2016·山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．112．(2016·山东理，12)若ax2＋5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.(x)x2y213．(2016·山东理，13)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在a2b2E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．14．(2016·山东理，14)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．15．(2016·山东理，15)已知函数f(x)＝Error!其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题：本答题共6小题，共75分．16．(2016·山东理，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tantanAtanBB)＝＋.cosBcosA(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．17．(2016·山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；1(2)已知EF＝FB＝AC＝23，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值．2218．(2016·山东理，18)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；an＋1n＋1(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.bn＋2n19．(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，3则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，42乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设3“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．2x－120．(2016·山东理，20)已知f(x)＝a(x－lnx)＋，a∈R.x2(1)讨论f(x)的单调性；3(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．2x2y2321．(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，a2b22抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；S1②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S，△PDM的面积为S，求的最大值及取12S2得最大值时点P的坐标．答案解析1.解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴Error!解得Error!∴z＝1－2i，故选B.答案 B2.解析 ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1时，fx＋＝fx－，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，2(2)(2)f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.答案 D10.解析 对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，1得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率x之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.答案 A11.解析 第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，ab，输出i的值为3.答案 35110r5r25－rr5－r5r212.解析 ∵T＋＝C(ax)＝aCx，r1(x)5∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C53＝－80，解得a＝－2.2答案 －22b22b213.解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2aacc－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(a)a1(舍去)．答案 2|5k|3314.解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.答案 (3，＋∞)16.(1)证明 由题意知sinAsinBsinAsinB2＋＝＋.(cosAcosB)cosAcosBcosAcosB化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.a＋ba2＋b2－2a＋ba2＋b2－c2(2)3ab11(2)解 由(1)知c＝，所以cosC＝＝＝＋－≥，当且22ab2ab8(ba)421仅当a＝b时，等号成立，故cosC的最小值为.217.(1)证明 设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)．过点F作FM垂直OB于点M，所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3)．→→故＝(－23，－23，0)，＝(0，－3，3)．BCBF设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量．由Error!可得Error!3可得平面BCF的一个法向量m＝－1，1，，(3)因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，m·n7所以cos〈m，n〉＝＝.|m||n|77所以二面角F-BC-A的余弦值为.718.解 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由Error!即Error!可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.6n＋6n＋1n＋1(3)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2.3n＋3n23n＋1又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×2＋3×2＋…＋(n＋1)×2]，34n＋22Tn＝3×[2×2＋3×2＋…＋(n＋1)×2]．234n＋1n＋2两式作差，得－Tn＝3×[2×2＋2＋2＋…＋2－(n＋1)×2]41－2n＝3×4＋－n＋1×2n＋2[1－2]n＋2n＋2＝－3n·2，所以Tn＝3n·2.19.解 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD.由事件的独立性与互斥性，P(E)＝P(ABCD)＋