2016年高考真题数学【理】(山东卷)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 14页 · 1.6 M

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题;每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2016·山东理,1)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z等于( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i2.(2016·山东理,2)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B等于( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)3.(2016·山东理,3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.1404.(2016·山东理,4)若变量x,y满足Error!则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.125.(2016·山东理,5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )1212A.+πB.+π3333122C.+πD.1+π3666.(2016·山东理,6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2016·山东理,7)函数f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是( )πA.B.π23πC.D.2π218.(2016·山东理,8)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),3则实数t的值为( )99A.4B.-4C.D.-449.(2016·山东理,9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,111f(-x)=-f(x);当x>时,fx+=fx-,则f(6)等于( )2(2)(2)A.-2B.-1C.0D.210.(2016·山东理,10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3第Ⅱ卷二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2016·山东理,11)执行如图所示的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为________.112.(2016·山东理,12)若ax2+5的展开式中x5的系数为-80,则实数a=________.(x)x2y213.(2016·山东理,13)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在a2b2E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.14.(2016·山东理,14)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________.15.(2016·山东理,15)已知函数f(x)=Error!其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.三、解答题:本答题共6小题,共75分.16.(2016·山东理,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tantanAtanBB)=+.cosBcosA(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.17.(2016·山东理,17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC;1(2)已知EF=FB=AC=23,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.2218.(2016·山东理,18)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列{bn}的通项公式;an+1n+1(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.bn+2n19.(2016·山东理,19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,3则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,42乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设3“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).2x-120.(2016·山东理,20)已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.x2(1)讨论f(x)的单调性;3(2)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.2x2y2321.(2016·山东理,21)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,a2b22抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证:点M在定直线上;S1②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S,△PDM的面积为S,求的最大值及取12S2得最大值时点P的坐标.答案解析1.解析 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,∴2(a+bi)+(a-bi)=3-2i,整理得3a+bi=3-2i,∴Error!解得Error!∴z=1-2i,故选B.答案 B2.解析 ∵A={y|y>0},B={x|-1时,fx+=fx-,即f(x)=f(x+1),∴T=1,∴f(6)=f(1).当x<0时,2(2)(2)f(x)=x3-1且-1≤x≤1,f(-x)=-f(x),∴f(2)=f(1)=-f(-1)=2,故选D.答案 D10.解析 对函数y=sinx求导,得y′=cosx,当x=0时,该点处切线l1的斜率k1=1,当x=π时,该点处切线l2的斜率k2=-1,∴k1·k2=-1,∴l1⊥l2;对函数y=lnx求导,1得y′=恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=ex求导,得y′=ex恒大于0,斜率x之积不可能为-1;对函数y=x3,得y′=2x2恒大于等于0,斜率之积不可能为-1.故选A.答案 A11.解析 第1次循环:i=1,a=1,b=8,ab,输出i的值为3.答案 35110r5r25-rr5-r5r212.解析 ∵T+=C(ax)=aCx,r1(x)5∴10-r=5,解得r=2,∴a3C53=-80,解得a=-2.2答案 -22b22b213.解析 由已知得|AB|=,|BC|=2c,∴2×=3×2c,又∵b2=c2-a2,整理得:2c2aacc-3ac-2a2=0,两边同除以a2得22-3-2=0,即2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-(a)a1(舍去).答案 2|5k|3314.解析 由已知得,圆心(5,0)到直线y=kx的距离小于半径,∴<3,解得-m时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+∞)为增函数,若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,则m2-2m·m+4m<|m|.∵m>0,∴m2-3m>0,解得m>3.答案 (3,+∞)16.(1)证明 由题意知sinAsinBsinAsinB2+=+.(cosAcosB)cosAcosBcosAcosB化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,从而sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c.a+ba2+b2-2a+ba2+b2-c2(2)3ab11(2)解 由(1)知c=,所以cosC===+-≥,当且22ab2ab8(ba)421仅当a=b时,等号成立,故cosC的最小值为.217.(1)证明 设FC中点为I,连接GI,HI,在△CEF中,因为点G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥OB,所以GI∥OB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC,又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′,则OO′⊥平面ABC.又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(0,23,0),C(-23,0,0).过点F作FM垂直OB于点M,所以FM=FB2-BM2=3,可得F(0,3,3).→→故=(-23,-23,0),=(0,-3,3).BCBF设m=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.由Error!可得Error!3可得平面BCF的一个法向量m=-1,1,,(3)因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),m·n7所以cos〈m,n〉==.|m||n|77所以二面角F-BC-A的余弦值为.718.解 (1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d.由Error!即Error!可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.6n+6n+1n+1(3)由(1)知,cn==3(n+1)·2.3n+3n23n+1又Tn=c1+c2+…+cn,得Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2],34n+22Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2].234n+1n+2两式作差,得-Tn=3×[2×2+2+2+…+2-(n+1)×2]41-2n=3×4+-n+1×2n+2[1-2]n+2n+2=-3n·2,所以Tn=3n·2.19.解 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.由事件的独立性与互斥性,P(E)=P(ABCD)+

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