2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学一、选择题1．已知集合M＝{x|－4解析 ∵N＝{x|－21，c＝0.2∈(0,1)，∴a0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin1>cos1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )5112111A.B.C.D.16323216答案 A解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个6脳5脳4205阳爻的种数为＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.66416故选A.7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝1|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.218．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )12+12+211A．A＝B．A＝2＋2+퐴퐴11C．A＝D．A＝1＋1+2퐴2퐴答案 A1解析 A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝21，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A.2+퐴9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )A．an＝2n－5B．an＝3n－101C．S＝2n2－8nD．S＝n2－2nnn2答案 A解析 设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，n(푛‒1)S＝na＋d＝n2－4n.故选A.n1210．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )푥2푥2푦2A.＋y2＝1B.＋＝1232푥2푦2푥2푦2C.＋＝1D.＋＝14354答案 B解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，a|BF|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|FA|＝a＝|FA|，则点A为椭圆C的上1221c1顶点或下顶点．令∠OAF＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF中，cos2푎푎1112θ＝＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝331，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A．①②④B．②④C．①④D．①③答案 C解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C푎2푏2的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．答案 2→→解析 因为1·2＝0，所以FB⊥FB，如图．FBFB12因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，ba所以tan∠BOF＝，tan∠BFO＝.2푎1푏因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，b所以＝，所以b2＝3a2，푎所以c2－a2＝3a2，c即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.푎三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，1由余弦定理得cosA＝＝，2因为0°0，得t<，212(푡‒1)则x＋x＝－.12912(푡‒1)57从而－＝，得t＝－.92837所以l的方程为y＝x－.28(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，1代入C的方程得x＝3，x＝，123即A(3,3)，B，故|AB|＝.20．已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：蟺(1)f′(x)的区间‒1,上存在唯一极大值点；(2)(2)f(x)有且仅有2个零点．1证明 (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx－，g′(x)＝－sinx＋.1+푥当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0.所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在上单调递减，故g(x)在上存在唯