2020年普通高等学校招生全国统一考试 新高考全国Ⅰ一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2解析 A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|20时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为nmC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－xnD．若m＝0，n>0，则C是两条直线答案 ACD11x2y2解析 对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，nm11mn故A正确．11对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．nnx2y2对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝11－mn11my2x2，b＝－，渐近线方程为y＝±－x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表mnn11－nm11m示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝－，渐近线方程为y＝±－x，故C正nmn确．1对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．n10．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于( )ππA．sinx＋B．sin－2x(3)(3)π5πC．cos2x＋D．cos－2x(6)(6)答案 BCT2πππ解析 由图象知＝－＝，得T＝π，23622π所以ω＝＝2.Tπ又图象过点，0，(6)π2π由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，332π所以sin(ωx＋φ)＝sin2x＋，故A错误；(3)2πππ由sin2x＋＝sinπ－－2x＝sin－2x知B正确；(3)[(3)](3)2ππππ由sin2x＋＝sin2x＋＋＝cos2x＋知C正确；(3)(26)(6)2ππ5π由sin2x＋＝cos2x＋＝cosπ＋2x－(3)(6)[(6)]5π＝－cos－2x知D错误．(6)11．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )11A．a2＋b2≥B．2a－b>22C．log2a＋log2b≥－2D.a＋b≤2答案 ABD解析 因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以a＋b≥2ab，11当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.2411对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；421对于B,2a－b＝22a－1＝×22a，21因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；21对于C，loga＋logb＝logab≤log＝－2，故C错误；22224对于D，由(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤2，得a＋b≤2，故D正确．12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且nnP(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，∑pi＝1，定义X的信息熵H(X)＝－∑pilog2pi.( )i＝1i＝1A．若n＝1，则H(X)＝0B．若n＝2，则H(X)随着pi的增大而增大1C．若p＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大inD．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)答案 AC解析 对于A，当n＝1时，p1＝1，H(X)＝－1×log21＝0，故A正确；131133对于B，当n＝2时，有p＋p＝1，此时，若p＝或都有H(X)＝－log2＋log2，故12144(4444)B错误；1对于C，当p＝(i＝1,2，…，n)时，inn1111H(X)＝－∑log2＝－n×log2＝log2n.i＝1nnnn显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；对于D，方法一 当n＝2m时，H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2m－1log2p2m－1＋p2mlog2p2m)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，p由于plogp＋plogp＝log(p1·p2m)H(Y)．方法二 (特值法)13令m＝1，则n＝2，p＝，p＝.1424P(Y＝1)＝1，H(Y)＝－log21＝0，1133H(X)＝－log2＋log2>0，(4444)∴H(X)>H(Y)．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.16答案 3解析 如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝3(x－1)．由Error!得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，10则x＋x＝，12316所以|AB|＝x＋x＋2＝.12314．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．答案 3n2－2n解析 方法一 (观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.na1＋ann1＋6n－5故前n项和为S＝＝n22＝3n2－2n.方法二 (引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边3形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A5到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.5π答案 4＋2解析 如图，连接OA，过A作AP⊥EF，分别交EF，DG，OH于点P，Q，R.由题意知AP＝EP＝7，又DE＝2，EF＝12，所以AQ＝QG＝5，π所以∠AHO＝∠AGQ＝.4π3π因为OA⊥AH，所以∠AOH＝，∠AOB＝.44设AR＝x，则OR＝x，RQ＝5－x.3因为tan∠ODC＝，55－x3所以tan∠ODC＝＝，7－x5解得x＝2，则OA＝22.所以S＝S扇形AOB＋S△AOH－S小半圆13π11＝××(22)2＋×4×2－π×1224225π＝＋4cm2.(2)16．已知