2013年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)+P(B)如果事件A、B独立，那么P(AB)P(A)P(B)。第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数z满组(z3)(2i)5（z为虚数单位），则z的共轭复数z为(A)2i(B)2i(C)5i(D)5i2、已知集合A0,1,2，则集合BxyxA,yA中元素的个数是(A)1(B)3(C)5(D)913、已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2,则f(1)x(A)-2(B)0(C)1(D)294、已知三棱柱ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形，若P为底面1114A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为5(A)(B)(C)(D)123465、将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值8为3(A)(B)(C)0(D)4442xy20，6、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组x2y10,所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的3xy80最小值为11(A)2(B)1(C)(D)327、给定两个命题p,q.若p是q的必要不充分条件，则p是q的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8、函数yxcosxsinx的图象大致为yyyyOxOx1OxOx(A)(B)(C)(D)9、过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为(A)2xy30(B)2xy30(C)4xy30(D)4xy3010、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A)243(B)252(C)261(D)279212x211、抛物线C1:yx(p0)的焦点与双曲线C2:y1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若2p3C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p332343(A)(B)(C)(D)16833xy21212、设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为zxyz9开始(A)0(B)1(C)(D)34第Ⅱ卷（共90分）输入(0)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13、执行右图所示的程序框图，若输入c的值为0.25，F01,F12,n1则输出的的值为n_______.14、在区间[-3,3]上随机取一个数x，F1F0F1使得x1x21成立的概率为______.0FFF15、已知向量AB与AC的夹角为120，010且AB3,AC2.若APABAC，nn1且APBC，则实数的值为____________.0,0x1,否16、定义“正对数”：lnx现有四个命题：1lnx,x1.F1①若a0,b0，则ln(ab)blna；是②若a0,b0，则ln(ab)lnalnb；2输出n结束a③若a0,b0，则ln()lnalnb；b④若a0,b0，则ln(ab)lnalnbln2.其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17、（本小题满分12分）7设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且ac6,b2,cosB..9（Ⅰ）求a,c的值；P（Ⅱ）求sin(AB)的值.FEHGBC18、（本小题满分12分）ADQ如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.（Ⅰ）求证：AB//GH；（Ⅱ）求二面角DGHE的余弦值。19、（本小题满分12分）1甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是22外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。3（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分X的分布列和数学期望。320、（本小题满分12分）设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2,a2n2an1.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；a1（Ⅱ）设数列{b}的前n项和为T，且Tn（为常数）。令c2b,(nN*)，求数列{c}nnn2nn2nn的前n项和Rn。21、（本小题满分13分）x设函数f(x)c（e2.71828…是自然对数的底数，cR）e2x（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于x的方程lnxf(x)根的个数。22、（本小题满分13分）x2y23椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别是F,F，离心率为，过F且垂直于x轴a2b21221的直线被椭圆C截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2。设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。设直线411PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值.kk1kk2一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ） A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i考点：复数的基本概念．3253948专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题． 2．（5分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．3253948专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题． 3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（ ） A．﹣2B．0C．1D．2考点：函数的值．3253948专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，5故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题． 4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ） A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．3253948专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键． 5．（5分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）6 A．B．C．0D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3253948专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题． 6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ） A．2B．1C．D．考点：简单线性规划．3253948专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．7点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题． 7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3253948专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键． 8．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ） A．B．C．D．考点：函数的图象．3253948专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．8故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 9．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ） A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3