2016年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016·山东，1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)等于( )A．{2,6}B．{3,6}C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}22．(2016·山东，2)若复数z＝，其中i为虚数单位，则z＝( )1－iA．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i3．(2016·山东，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A．56B．60C．120D．1404．(2016·山东，4)若变量x，y满足Error!则x2＋y2的最大值是( )A．4B．9C．10D．125．(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( )1212A.＋πB.＋π3333122C.＋πD．1＋π3666．(2016·山东，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(2016·山东，7)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离8．(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于( )3ππππA.B.C.D.43469．(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f111(－x)＝－f(x)；当x＞时，fx＋＝fx－.则f(6)等于( )2(2)(2)A．－2B．－1C．0D．210．(2016·山东，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11．(2016·山东，11)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．12．(2016·山东，12)观察下列等式：π2π4sin－2＋sin－2＝×1×2；(3)(3)3π2π3π4π4sin－2＋sin－2＋sin－2＋sin－2＝×2×3；(5)(5)(5)(5)3π2π3π6π4sin－2＋sin－2＋sin－2＋…＋sin－2＝×3×4；(7)(7)(7)(7)3π2π3π8π4sin－2＋sin－2＋sin－2＋…＋sin－2＝×4×5；(9)(9)(9)(9)3…π2π3π2nπ照此规律，sin－2＋sin－2＋sin－2＋…＋sin－2＝__________.(2n＋1)(2n＋1)(2n＋1)(2n＋1)13．(2016·山东，13)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．x2y214．(2016·山东，14)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．矩形ABCD的四个顶点在Ea2b2上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．15．(2016·山东，15)已知函数f(x)＝Error!其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题本大题共6小题，共75分．16．(2016·山东，16)(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．17．(2016·山东，17)(本小题满分12分)设f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向ππ左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．3(6)18．(2016·山东，18)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.219．(2016·山东，19)(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；an＋1n＋1(2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.bn＋2n20．(2016·山东，20)(本小题满分13分)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．x2y221．(2016·山东，21)(本小题满分14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦a2b2距为22.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.k′①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明为定值．k②求直线AB的斜率的最小值．答案解析1.解析 ∵A∪B＝{1,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}，故选A.答案 A21＋i2.解析 ∵z＝＝1＋i，∴z＝1－i，故选B.1－i1＋i答案 B3.解析 由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，∴人数是200×0.7＝140，故选D.答案 D4.解析 满足条件Error!的可行域如下图阴影部分(包括边界)．x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.答案 C25.解析 由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，2114212∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C.323(2)36答案 C6.解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.答案 A2227.解析 ∵圆M：x＋(y－a)＝a，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，|a||a|圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋(2)2＝a2，解得a＝2.2(2)∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，22∴|MN|＝1－0＋1－2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.答案 B8.解析 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，π∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.4答案 C1119.解析 当x＞时，fx＋＝fx－，2(2)(2)即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝[(－1)3－1]＝2，故选D.答案 D10.解析 对于函数y＝sinx，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1；当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；1对于y＝lnx，y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；x对于y＝ex，y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对于y＝x3，y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.答案 A11.解析 输入n的值为3，第1次循环：i＝1，S＝2－1，i＜n；第2次循环：i＝2，S＝3－1，i＜n；第3次循环：i＝3，S＝1，i＝n.输出S的值为1.答案 1412.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.34答案 ×n×(n＋1)313.解析 ∵a⊥(ta＋b)，∴ta2＋a·b＝0，又∵a2＝2，a·b＝10，∴2t＋10＝0，∴t＝－5.答案 －52b214.解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，a2b2∴2×＝3×2c.acc又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－(a)a3e－2＝0，解得e＝2.答案 215.解析 如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数．若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m＜|m|.∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.答案 (3，＋∞)16.解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16.所以基本事件总数n＝16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，55所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.1616(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个．即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．63所以P(B)＝＝.168事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．535所以P(C)＝.因为＞，16816所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率．17.解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－3cos2x＋3－1π＝2sin2x－＋3－1.(3)πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，232π5π得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．1212π5ππ5π所以f(x)的单调递增区间是kπ－，kπ＋(k∈Z)或kπ－，kπ＋k∈Z.[1212]((1212))π(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－＋3－1，(3)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．π得到y＝2sinx－＋3－1的图象．(3)π再把得到的图象向左平移个单位，3得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.ππ所以g＝2sin＋3－1＝3.(6)618.证明 (1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，