2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）（含解析版）

2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的1．（5分）函数的定义域为（ ）解集为（ ）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．．（分）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为△A．B．115ABC﹣A1B1C1A1ABCABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）C．D．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（ ）A．B．C．D．24．（5分）设a∈R，且（a+i）i为正实数，则a=（ ）A．B．C．D．A．2B．1C．0D．﹣112．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（ ）种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A．138B．135C．95D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ）A．e2x﹣2B．e2xC．e2x+1D．e2x+2A．96B．84C．60D．487．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（ ） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）A．2B．C．﹣D．﹣213．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 ．8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的第1页（共13页）三角形面积为 ．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；心率e= ．（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，验．AB=AC．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．第2页（共13页）21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；向．（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为，求双曲线的方程．AB4（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b． 第3页（共13页）【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】16：压轴题；31：数形结合．2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s参考答案与试题解析看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋 势，分析四个答案即可得到结论．一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，1．（5分）函数的定义域为（ ）路程随时间上升的速度越来越快，A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有路程随时间上升的速度保持不变【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的故图象的中间部分为平升的形状；定义域．在汽车减速行驶之后停车阶段，【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．路程随时间上升的速度越来越慢，又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故图象的前边部分为凸升的形状；故选：C．分析四个答案中的图象，【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中只有A答案满足要求，分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要故选：A．注意正切函数的定义域．【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象 是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变． A．B．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（ ）A．B．C．D．C．D．【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有第4页（共13页）【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部∴d=3，a1=﹣4，分入手．∴S10=10a1+=95．【解答】解：∵由，故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数∴，n列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该∴．数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，故选：A．间接求其通项公式．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解 决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=向量为载体的（ ） A．e2x﹣2B．e2xC．e2x+1D．e2x+24．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）A．2B．1C．0D．﹣1【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．【解答】解：∵，∴，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2 ∴答案为A．5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（ ）【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．A．138B．135C．95D．23 7．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（ ）【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题．A．2B．C．﹣D．﹣2【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a+a=4，a+a=10我2435们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有前n项和公式，即可求解．【专题】53：导数的综合应用．第5页（共13页）【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．解集为（ ）【解答】解：∵y=，A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，【专题】16：压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，故选：D．最后结合f（x）的单调性解出答案．【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，意直线与直线垂直的性质的灵活运用． 而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位当＜＜时，（）＞（），得＜，满足；﹣1x0fxf﹣1=00【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；【专题】11：计算题．所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移故选：D．即可得到答案．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．【解答】解：∵， 10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．故选：A．【