2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版ⅰ）（含解析版）

（ ）2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）1．（5分）复数=（ ）11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最A．iB．﹣iC．12﹣13iD．12+13i小值为（ ）2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积A．B．﹣C．D．﹣的最大值为（ ）A．B．C．D．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）A．4B．3C．2D．113．（5分）不等式的解集是 ．4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）A．B．7C．6D．14．（5分）已知α为第三象限的角，，则= ．5．（5分）（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是（ ）15．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是 ．A．﹣4B．﹣2C．2D．416．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，．（分）某校开设类选修课门，类选择课门，一位同学从中共选门，若要求两类课65A3B43且，则C的离心率为 ．程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A．30种B．35种C．42种D．48种三、解答题（共6小题，满分70分）7．（5分）正方体ABCD﹣ABCD中，BB与平面ACD所成角的余弦值为（ ）11111117．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．．．．．ABCD8．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（ ）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a229．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x﹣y=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是第1页（共12页）18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，21．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则点，点A关于x轴的对称点为D．再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．22．（12分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c﹣．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅰ）设c=，bn=，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围． 20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．第2页（共12页）法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，=2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这参考答案与试题解析一转化思想的应用． 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数=（ ）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）A．iB．﹣iC．12﹣13iD．12+13iA．4B．3C．2D．1【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【分析】复数的分子中利用﹣i2=1代入3，然后化简即可．【专题】11：计算题；31：数形结合．【解答】解：【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．故选：A．【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，【点评】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧． 由图可知，2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（ ）当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为zmax=1﹣2×（﹣1）=3．A．B．﹣C．D．﹣故选：B．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一，【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．所以tan100°=﹣tan80°=．： 第3页（共12页）4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A．B．7C．6D．A．30种B．35种C．42种D．48种【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有【考点】D1：分类加法计数原理．菁优网版权所有33【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a2=5；a7a8a9=10⇒a8=10．【专题】11：计算题．3【解答】解：a1a2a3=5⇒a2=5；【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类3a7a8a9=10⇒a8=10，选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．212a5=a2a8，【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C3C4种不同的选∴，∴，法；21②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C3C4种不同的选法．故选：A．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C1C2+C2C1=18+12=30种．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考3434故选：A．查了转化与化归的数学思想．【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排 333列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C7﹣C3﹣C4=30．5．（5分）（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是（ ） A．﹣4B．﹣2C．2D．47．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有【分析】利用完全平方公式展开，利用二项展开式的通项公式求出x的系数．【专题】5G：空间角．【解答】解：（1+2）3（1﹣）5=（1+6+12x+8x）（1﹣）5【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为35330故（1+2）（1﹣）的展开式中含x的项为1×C5（）+12x=﹣10x+12xC5=2x，BB1与平面ACD1所成角，所以x的系数为2．直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．故选：C．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===， 6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课故选：D．第4页（共12页）轴的距离为（ ）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等，．由余弦定理得体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离． 【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得8．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（ ），．A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a由余弦定理得【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有cos∠F1PF2=，即cos60°=，【专题】11：计算题；35：转化思想．解得，所以，故到轴的距离为【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值Pxa、b、c的大小关系．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本【解答】解：a=log32=，b=ln2=，题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．而log23＞log2e＞1，所以a＜b， 10．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是c==，而，（ ）所以＜，综上＜＜，cacabA．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）故选：C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、【考点】34：函数的值域；3D：函数的单调性及单调区间；4H：对数的运算性质；7F：基本不等换底公式、不等式中的倒数法则的应用．式及其应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．229．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x﹣y=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x第5页（共12页）【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈sinα=，（0，1）上为减函数，=确定a+2b的取值范围．=×（1﹣2sin2α）【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b==（x2﹣1）（1﹣）=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）=x2+﹣3≥2﹣3，上为减函数，∴当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为2﹣3．所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选：D．故选：C．【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=，从而错选A，这也是命题者的用心良苦之处． 【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 小值为（ ）12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=C