2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）

（ ）2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）．．．．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目ABCD要求的.11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交．（分）设集合{，，}，{，}，{|+，，}，则中元素的个数为15A=123B=45M=xx=aba∈Ab∈BM于A，B两点，若，则k=（ ）（ ）A．B．C．D．2A．3B．4C．5D．612．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）2．（5分）=（ ）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称A．﹣8B．8C．﹣8iD．8iB．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）C．A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1D．f（x）既是奇函数，又是周期函数4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ） A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.﹣15．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f（x）=（ ）13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα= ．A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）答）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）a的取值范围是 ．A．5B．8C．12D．1816．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球的表面积等于 ．8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范O 围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．B．C．D．217．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a2，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）项式．A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于第1页（共12页）18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF|=|BF|，证明：|AF|、2112|AB|、|BF|成等比数列．219．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．．（分）已知函数．2212（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{an}的通项an=1+． 20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．第2页（共12页）故选：A．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 参考答案与试题解析 3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有（ ）【专题】5A：平面向量及应用．A．3B．4C．5D．6【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有∴=（2λ+3，3），．【专题】11：计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．∵，【解答】解：因为集合{，，}，{，}，{|+，，}，A=123B=45M=xx=aba∈Ab∈B∴=0，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）2．（5分）=（ ）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为+的范围，解不等式组即可得解．【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．2x1【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），【解答】解：∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．第3页（共12页）∴则函数f（2x+1）的定义域为．【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等故选：B．比数列的求和公式可求【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．【解答】解：∵3an+1+an=0 ∴﹣15．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f（x）=（ ）∴数列{a}是以﹣为公比的等比数列A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）n∵【考点】4R：反函数．菁优网版权所有∴a1=4【专题】51：函数的性质及应用．由等比数列的求和公式可得，S==3（1﹣3﹣10）【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函10数的定义域．故选：C．【解答】解：设y=log（1+），2【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题把y看作常数，求出x： 1+=2y，x=，其中y＞0，7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）A．5B．8C．12D．18x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转【专题】11：计算题．化．【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开 式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）3rr【解答】解：（x+1）的展开式的通项为Tr+1=C3x22A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）令r=2得到展开式中x的系数是C3=3，4rr（1+y）的展开式的通项为T+=Cyr1422令r=2得到展开式中y的系数是C4=6，【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．故选：D．第4页（共12页）【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的． 9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有A．B．C．D．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A（﹣2，0），右顶点A（2，0）．设P（x，y）1200【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，给出的的范围即可解出．令h（x）=﹣2x，【解答】解：由椭圆：可知其左顶点（，），右顶点（，）．CA1﹣20A220则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∴h（x）＜h（）=3∵=，=，∴a≥3．故选：D．∴==，【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．∵， ∴，解得．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）故选：B．第5页（共12页）2A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有A．B．C．D．2【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．2【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向【解答】解：由抛物线C：y=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），建立空间直角坐标系，代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，如下图所示：设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0则D（0，0，2），C1（1，