2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）

．斛．斛．斛．斛2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）A14B22C36D66一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（ ）A．B．A．1B．C．D．2C．D．2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（ ）8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2=2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312A．（kπ﹣，kπ+），k∈zB．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，C．（k﹣，k+），k∈zD．（，2k+），k∈z若＜0，则y0的取值范围是（ ）9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）A．B．C．D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）第1页（共17页）A．[）B．[）C．[）D．[） 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a= ．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是 ． A．5B．6C．7D．8三、解答题：10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）217．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an+2an=4Sn+3A．10B．20C．30D．60（I）求{a}的通项公式：11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图n（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）A．1B．2C．4D．8x12．（5分）设函数f（x）=e（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄第2页（共17页）平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．表中wi=i，=（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（uv），（uv）…..（uv），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估1122nn计分别为：=，=﹣．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．量y（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．i（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）22（xi﹣）（wi﹣）（xi﹣）（yi﹣）（wi﹣）（yi﹣）46.65636.8289.81.61469108.8第3页（共17页）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；选修4一4：坐标系与参数方程（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论2223．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）+（y﹣2）=1，以坐标原点为h（x）零点的个数．极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C，C的极坐标方程；12（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（∈），设与的交点为，，求△的面积．C3θ=ρRC2C3MNC2MN选修4一1:几何证明选讲选修4一5：不等式选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 第4页（共17页）=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）．参考答案与试题解析= 故选：D．一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（ ） 3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）A．1B．C．D．2A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2=2n【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先化简复数，再求模即可．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵复数z满足=i，【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，∴1+z=i﹣zi，故选：C．∴z（1+i）=i﹣1，【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．∴，z==i ∴|z|=1，4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的故选：A．概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312 2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（ ）【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有A．B．C．D．【专题】5I：概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有该同学通过测试的概率为=0.648．【专题】56：三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．故选：A．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．第5页（共17页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．若＜0，则y0的取值范围是（ ）【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，A．B．C．D．解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．∵1斛米的体积约为1.62立方，【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．∴÷1.62≈22，【解答】解：由题意，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+y2=3y2﹣1＜0，0000000故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．所以﹣＜y0＜． 故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ） A．B．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依C．D．垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有【专题】5A：平面向量及应用．（ ）【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛第6页（共17页）【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题． 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为． 8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）A．（kπ﹣，kπ+），k∈zB．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈zD．（，2k+），k∈z【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质．A．5B．6C．7D．8【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；k∈z，再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；故选：D．第7页（共17页）再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，