2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱3．（5分）设z=+i，则|z|=（ ）9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正A．B．C．D．2周期为π的所有函数为（ ）10．（5分）已知抛物线C：y=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=A．①②③B．①③④C．②④D．①③（ ）8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几A．1B．2C．4D．8何体是（ ）11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣33212．（5分）已知函数f（x）=ax﹣3x+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取第1页（共15页）值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果二、填空题：本大题共4小题，每小题5分得如下频数分布表：13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，[115，率为 ．115）125）．（分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，145ABC频数62638228甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．（分）已知{}是递增的等差数列，，是方程2+的根．1712ana2a4x﹣5x6=0（）求{}的通项公式；1an（2）求数列{}的前n项和．第2页（共15页）21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面斜率为0，BB1C1C．（1）求b；（1）证明：B1C⊥AB；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，且CB=CE．线段AB的中点为M，O为坐标原点．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（1）求M的轨迹方程；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．第3页（共15页）【选修4-4：坐标系与参数方程】【选修4-5：不等式选讲】24．若a＞0，b＞0，且+=．23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 第4页（共15页）【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题． 2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）．（分）设+，则||（ ）参考答案与试题解析35z=iz= A．B．C．D．2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．【解答】解：z=+i=+i=．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有故|z|==．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．故选：B．【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．则M∩N={x|﹣1＜x＜1}， 故选：B．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． A．2B．C．D．12．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．【专题】56：三角函数的求值．【解答】解：由题意，【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．【解答】解：∵tanα＞0，e===2，∴，解得，a=1．则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：D．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题．第5页（共15页） 5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下∴+=（+）+（+）=+=（+）=，列结论正确的是（ ）故选：A．A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），形法则是解答的关键．f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误， |f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．周期为π的所有函数为（ ）|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，A．①②③B．①③④C．②④D．①③故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质．6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．A．B．C．D．【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到故选：A．答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，第6页（共15页）【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力． 【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ） 8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，【专题】5I：概率与统计．可知几何体如图：几何体是三棱柱．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．故选：B．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第7页（共15页）第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay经过A点时取不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．得最小值为7，同理对a＜1得出．【解答】解：如图所示，故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的当a≥1时，由，常用方法．解得，y=． ∴．210．（5分）已知抛物线C：y=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，（ ）∴，化为a2+2a﹣15=0，A．1B．2C．4D．8解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有故选：B．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，x0＞0．∴=x0+，解得x0=1．故选：A．【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．于中档题． 11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）3