2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）

．（分）等比数列{}中，，，则数列{}的前项和等于（ ）2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）105ana4=2a5=5lgan8A．6B．5C．4D．3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）A．﹣1+3iB．﹣1﹣3iC．1+3iD．1﹣3iA．B．C．D．2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]函数是（ ）3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）13．（5分）的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）A．2B．C．1D．5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，．（分）设、满足约束条件，则+的最大值为 ．则不同的选法共有（ ）145xyz=x4yA．60种B．70种C．75种D．150种2215．（5分）直线l1和l2是圆x+y=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F、F，离心率为，过F的直122的正切值等于 ．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）是 ．A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1 7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）三、解答题A．2eB．eC．2D．117．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面B．积为（ ）．．．．AB16πC9πD9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）A．B．C．D．第1页（共13页）18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、（1）求{an}的通项公式；0.4，各人是否需使用设备相互独立．（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．第2页（共13页）22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；点为，且||||．QQF=PQ*（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N）．（Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．第3页（共13页）2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）故选：B．参考答案与试题解析【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞bA．﹣1+3iB．﹣1﹣3iC．1+3iD．1﹣3i【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，【解答】解：∵z==，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴．故选：D．∴c＞b＞a【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．故选：C． 【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ） ．（，]．[，）．[，）．（，]A04B04C﹣10D﹣104．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）A．2B．C．1D．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【专题】5A：平面向量及应用．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．又N={x|0≤x≤5}，【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，第4页（共13页）则||=，【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出故选：B．椭圆的方程．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础【解答】解：∵△AF1B的周长为4，题．∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=4，5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，∴a=，则不同的选法共有（ ）∵离心率为，A．60种B．70种C．75种D．150种∴，c=1，∴b==，【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】5O：排列组合．∴椭圆C的方程为+=1．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．故选：A．2【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C6=15种选法，【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础1再从5名女医生中选出1人，有C5=5种选法，题．则不同的选法共有15×5=75种； 故选：C．7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．A．2eB．eC．2D．1 【考点】62：导数及其几何意义．菁优网版权所有6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直【专题】52：导数的概念及应用．线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有故选：C．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 第5页（共13页）8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．积为（ ）【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，A．B．16πC．9πD．∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有则|F1A|﹣|F2A|=2a，【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．又|F1A|=2|F2A|，【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，半径，求出球的表面积．则由余弦定理得cos∠AF2F1===【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，．∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，∴球的表面积为4π•（）2=．考查学生的计算能力．故选：A． 10．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）A．6B．5C．4D．3【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．【分析】利用等比数列的性质可得aa=aa=aa=aa=10．再利用对数的运算性质即可得出． 18273645【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．AF2F1=（ ）∴lga1+lga2+…+lga8A．B．C．D．=lg（a1a2•…•a8）=【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有4lg10【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．第6页（共13页）=4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题． 11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所．．．．ABCD成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反【专题】5G：空间角．函数是（ ）【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥【考点】4R：反函数．菁优网版权所有AE，连接BF，【专题】51：函数的性质及应用．∵AE⊥l【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意