2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）（含解析版）

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）（ ）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中A．B．C．D．的元素共有（ ）9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个A．1B．2C．﹣1D．﹣2．（分）已知+，则复数（ ）25=2iz=10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到αA．﹣1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．1B．2C．D．4A．B．2C．D．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数A．150种B．180种C．300种D．345种12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣=3，则||=（ ）7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的A．B．2C．D．3中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣ABC的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2，∠BAC=120°，则1111A．B．C．D．此球的表面积等于 ．第1页（共12页）16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．20．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且（1）设bn=，求数列{bn}的通项公式；sinAcosC=3cosAsinC，求b．（2）求数列{an}的前n项和Sn．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°个点．（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x、x，且x∈[﹣1，0]，x∈[1，2]．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前21212（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区局中，甲、乙各胜1局．域；（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）证明：．（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望． 第2页（共12页）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有参考答案与试题解析【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去 绝对值．一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）【解答】解：∵＜1，1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）∴|x+1|＜|x﹣1|，A．3个B．4个C．5个D．6个∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有∴不等式的解集为{x|x＜0}．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．故选：D．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB） 故选：A．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的【点评】本题考查集合的基本运算，较简单． 离心率为（ ）2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）A．B．2C．D．A．﹣1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0， 因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）第3页（共12页）即，=1﹣cos≥．故选：C．故选：D．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．题． 7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．菁优网版权所有【专题】5O：排列组合．A．B．C．D．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．112【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C5•C3•C6=225种选法；【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有211（2）乙组中选出一名女生有C5•C6•C2=120种选法．故共有345种选法．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，故选：D．则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！理即可求之． 【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）成的角；．．．．A﹣2B﹣2C﹣1D1﹣并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有由余弦定理，得cosθ==．【专题】16：压轴题．故选：D．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值． 8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．（ ）∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos第4页（共12页）A．B．C．D．的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）【考点】HB：余弦函数的对称性．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．A．1B．2C．D．4∴∴由此易得．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有故选：A．【专题】11：计算题；16：压轴题．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠ PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）【解答】解：如图A．1B．2C．﹣1D．﹣2分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率又∵得第三个方程．当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），故选：C．又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线 【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．第5页（共12页） 【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，由题意，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．即BM=，∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），故AN=1，f（﹣x+3）=﹣f（x+3），∴．f（x+3）是奇函数．故选：A．故选：D．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20