2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷ⅰ）（含解析版）

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个（ ）3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．B．C．D．A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到αC．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．A．1B．2C．D．46．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组=3，则||=（ ）中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．B．2C．D．3A．150种B．180种C．300种D．345种 8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．A．150°B．120°C．60°D．30°14．（5分）设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9= ．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 ．第1页（共13页）19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号） 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a}的前n项和为S，公比是正数的等比数列{b}的前n项和为T，已nnnn知a=1，b=3，a+b=17，T﹣S=12，求{a}，{b}的通项公式．113333nn20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．sinAcosC=3cosAsinC，求b．第2页（共13页）21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；个点．（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标． 第3页（共13页）3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}参考答案与试题解析 【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去1．（5分）sin585°的值为（ ）绝对值．A．B．C．D．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，22【考点】GE：诱导公式．菁优网版权所有∴x+2x+1＜x﹣2x+1．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．∴x＜0．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．故选：A．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方． 2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个A．B．﹣C．D．﹣【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【专题】11：计算题．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．两角和的正切公式，即可得到答案．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）【解答】解：∵tana=4，cotβ=，故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．∴tanβ=3 ∴tan（a+β）===﹣故选：B．第4页（共13页）【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角【解答】解：由题令1+2lgx=1三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．得x=1， 即f（1）=1，又g（1）=1，5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的所以f（1）+g（1）=2，离心率为（ ）故选：C．A．B．2C．D．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）断出a和c的关系，答案可得．A．150种B．180种C．300种D．345种【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．菁优网版权所有代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，【专题】5O：排列组合．因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．112即，【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C5•C3•C6=225种选法；211（2）乙组中选出一名女生有C5•C6•C2=120种选法．故共有345种选法．故选：C．故选：D．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！题． ．（分）设非零向量、、满足，则（ ）6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）85=A．0B．1C．2D．4A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．问题．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，第5页（共13页）∵两个向量的模长相等由余弦定理，得cosθ==．∴、可构成菱形的两条相邻边，故选：D．∵【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长， ∴两个向量的夹角是120°，10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为故选：B．（ ）【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数A．B．C．D．学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．【考点】HB：余弦函数的对称性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．A．B．C．D．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题． 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，第6页（共13页）A．1B．2C．D．4【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．故选：．C由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本题主要考查了平面