2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版ⅰ）（含解析版）

．．．．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）A2B4C6D89．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）A．B．C．D．1．（5分）cos300°=（ ）A．B．﹣C．D．10．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（ ）2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁UM）=A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a（ ）11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}小值为（ ）A．B．C．D．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）A．4B．3C．2D．1A．B．C．D．4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）A．B．7C．6D． 5．（5分）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（ ）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）A．﹣6B．﹣3C．0D．313．（5分）不等式的解集是 ．6．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角14．（5分）已知α为第二象限角，sinα=，则tan2α= ．等于（ ）15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种．（用数字作答）16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为 ． 三、解答题（共6小题，满分70分）A．30°B．45°C．60°D．90°17．（10分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn．7．（5分）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）228．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x﹣y=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（ ）第1页（共13页）18．（12分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．第2页（共13页）21．（12分）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程． 第3页（共13页）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）参考答案与试题解析A．4B．3C．2D．1 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有1．（5分）cos300°=（ ）【专题】11：计算题；31：数形结合．．．．．AB﹣CD【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，【专题】11：计算题．由图可知，【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．当直线l经过点A（1，﹣1）时，【解答】解：∵．z最大，且最大值为zmax=1﹣2×（﹣1）=3．故选：C．故选：B．【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识． 2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁UM）=（ ）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最【分析】根据补集意义先求CUM，再根据交集的意义求N∩（CUM）．值，属于基础题．【解答】解：（CUM）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（CUM）={1，3，5}∩{2，3，5}={3， 5}．4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）故选：C．A．B．7C．6D．【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题． 【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有33【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a2=5；a7a8a9=10⇒a8=10．第4页（共13页）3【解答】解：a1a2a3=5⇒a2=5；3a7a8a9=10⇒a8=10，2a5=a2a8，∴，∴，故选：A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考A．30°B．45°C．60°D．90°查了转化与化归的数学思想． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有5．（5分）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（ ）【专题】1：常规题型．A．﹣6B．﹣3C．0D．3【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°①m=1，n=2；②m=2，n=0；故选：C．系数分别为：①=﹣12；②=6；【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的x2的系数是﹣12+6=﹣6求法，考查转化思想，属于基础题．故选：A． 【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应7．（5分）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）力． 【考点】34：函数的值域；3A：函数的图象与图象的变换；4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有6．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角【专题】11：计算题．等于（ ）【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0第5页（共13页）∴lg（ab）=0【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．∴ab=1，【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．又a＞0，b＞0，且a≠b解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．∴（a+b）2＞4ab=4【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，∴a+b＞2由余弦定理得故选：C．cos∠F1PF2=（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，∴|PF1|•|PF2|=4．整理得线性规划表达式为：，法2；由焦点三角形面积公式得：因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=﹣x+z，即求函数的截距最值．∴|PF1|•|PF2|=4；根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，故选：B．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合所以取不到2），运用能力及运算能力．∴a+b的取值范围是（2，+∞）． 故选：C．9．（5分）正方体ABCD﹣ABCD中，BB与平面ACD所成角的余弦值为（ ）【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易111111．．．．忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且ABCD仅当a=b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab=4，进而解决问题． 【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有228．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x﹣y=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则【专题】5G：空间角．|PF1|•|PF2|=（ ）【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为A．2B．4C．6D．8BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，第6页（共13页）则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===， 故选：D．11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．菁优网版权所有【专题】5C：向量与圆锥曲线．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），则PA=PB=，10．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（ ）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c