2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）

（ ）2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）A．﹣B．﹣C．D．一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（ ）11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}（ ）2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（ ）A．4B．C．8D．A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（ ）A．7πB．9πC．11πD．13πA．.B．C．、D．. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（ ）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为： ．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα= ．A．17B．14C．5D．35．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3余弦值为 ．6．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（ ）16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为A．8B．7C．6D．57．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ． 的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）三、解答题（共6小题，满分70分）A．B．3C．6D．917．（10分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（ ）A．2B．C．D．19．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）A．12种B．24种C．30种D．36种．（分）设（）是周期为的奇函数，当≤≤时，（）（），则105fx20x1fx=2x1﹣x=第1页（共12页）18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，（Ⅰ）求B；CD=SD=1．（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．第2页（共12页）22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线（）在处的切线过点（，）；y=fxx=022的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 第3页（共12页）【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 参考答案与试题解析．（分）设向量、满足||||，，|+|（ ） 35==1•=﹣2=一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）A．.B．C．、D．.1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（ ）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【分析】由|+2|==，代入已知可求【专题】11：计算题．【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．|+2|===【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．故选：B．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题 2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（ ）4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（ ）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）A．17B．14C．5D．3【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域【专题】31：数形结合．（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐∴x=，y≥0，标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．故反函数为y=（x≥0）．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：故选：B．第4页（共12页）由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5【专题】11：计算题．故选：C．【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：22Sk+2=（k+2），Sk=k∴Sk+2﹣Sk=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题． 【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．．（分）设函数（）（＞），将（）的图象向右平移个单位长度后，所得 75fx=cosωxω0y=fx5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3A．B．3C．6D．9【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，利用条件的定义判断出选项．容易得到结果．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：A．故选：C．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能 力，常考题型．6．（5分）设S为等差数列{a}的前n项和，若a=1，公差d=2，S+﹣S=24，则k=（ ）nn1k2k A．8B．7C．6D．58．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（ ）【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有第5页（共12页）A．2B．C．D．1两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，2【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有∵恰有2人选修课程甲，共有C4=6种结果，【专题】11：计算题．∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得根据分步计数原理知共有6×4=24种结果BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．故选：B．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．由勾股定理可得，BC=； 在Rt△BCD中，BC=，BD=1，10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=由勾股定理可得，CD=；（ ）故选：C．A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．故选：A． 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法 共有（ ）11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=A．12种B．24种C．30种D．36种（ ）A．4B．C．8D．【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有2【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C4种结果，余下的两个人各有【专题】5B：直线与圆．第6页（共12页）【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a和b分别为2x﹣10x+17=0的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C、C都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，12设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问则有=|a|，|=|b|，题解决问题的能力，属于基础题． 故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）即a和b分别为x2﹣10x+17=0的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为： 0 ．22∴（a﹣b）=（a+b）﹣4ab=32，∴两圆心的距离