2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

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2007年全国统一高考数学试卷理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=( )A.B.C.D.2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=( )A.B.1C.D.23.(4分)已知向量,,则与( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为( )A.B.C.D.5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=( )A.1B.﹣1C.2D.﹣26.(4分)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是( )A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)7.(4分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.8.(4分)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=( )A.B.2C.D.49.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=( )A.3B.4C.5D.611.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )A.4B.C.D.812.(4分)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是( )A.B.C.D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答)14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)= .15.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为 .16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.19.(14分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(14分)设函数f(x)=ex﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.22.(16分)已知数列{an}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,… 2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=( )A.B.C.D.【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣.故选D. 2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=( )A.B.1C.D.2【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B. 3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A. 4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为( )A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A. 5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=( )A.1B.﹣1C.2D.﹣2【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b的值,计算可得答案.【解答】解:根据题意,集合,又∵a≠0,∴a+b=0,即a=﹣b,∴,b=1;故a=﹣1,b=1,则b﹣a=2,故选C. 6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是( )A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线x﹣y+1=0的距离都为,但∵,仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内故选C 7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D. 8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=( )A.B.2C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=logax是单调递增函数,最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1,所以loga2a﹣logaa=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a,logaa,∴loga2a﹣logaa=,∴,a=4,故选D 9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B 10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=( )A.3B.4C.5D.6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.【解答】解:的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,12当n=3时,C3=3≠15,当n=6时,C6=15,故选项为D 11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )A.4B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C. 12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是( )A.B.C.D.【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.【解答】解.函数=cos2x﹣cosx﹣1,原函数看作g(t)=t2﹣t﹣1,t=cosx,对于g(t)=t2﹣t﹣1,当时,g(t)为减函数,当时,g(t)为增函数,当时,t=cosx减函数,且,∴原函数此时是单调增,故选A 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种.(用数字作答)【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.【解答】解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,12∴不同的选法共有C3•A4=3×4×3=36种. 14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)= 3x(x∈R) .【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,x则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3(x∈R)故答案为:3x(x∈R) 15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为 .【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,n﹣12∴an=a1q,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q),解.故答案为 16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 2 .【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形D

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