高考数学专题12 立体几何专题（新定义）（解析版）

专题12立体几何专题（新定义）一、单选题1．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式中的常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长，在球中，表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为），正方体（棱长为），球（直径为）的“立圆率”分别为，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：A.2．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V=h（S+4S0+S'），其中S，S'分别是上､下底面的面积，S0是中截面的面积，h为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（    ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A．63车 B．65车 C．67车 D．69车【答案】B【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法求出所需要的车次.【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积，中截面积，下底面积，所以该建筑材料的体积为V=立方米，所以建筑材料重约（吨），需要的卡车次为，所以至少需要运65车.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（    ）．A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4【答案】C【解析】由和可得【详解】解：，故选：C【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点，因此，该正八面体的总曲率为.故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（    ）A．北纬 B．南纬C．北纬 D．南纬【答案】D【解析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角可得结果.【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角，由华表的高和影长相等可知，所以.所以该天太阳直射纬度为南纬，故选：D.6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面周长为，故其侧面积为．故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，，……，遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a、b、c、d的值即可比较大小.【详解】对于正四面体，其离散曲率为，对于正八面体，其离散曲率为，对于正十二面体，其离散曲率为，对于正二十面体，其离散曲率为，则，所以.故选：B.8．（重庆市2023届高三第七次质量检测数学试题）如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件求得，，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①由题意可得：，即：，②所以由①②得：，，所以小球缺的体积，大球缺的体积，所以小球缺与大球缺体积之比为.故选：C.9．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）碳（）是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（    ）.A．12 B．20 C．32 D．60【答案】B【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有个，正六边形有个，根据面数和棱数即可得关于的方程组，解得的值，即可求解.【详解】根据题意，碳（）由个顶点，有个面，由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，设正五边形有个，正六边形有个，则，解得：，所以六元环的个数为个，故选：B.10．（2018春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设，定义区间、、、的长度均为.在三棱锥中，，，则长的取值区间的长度为A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】由题意画出图形，得到三棱锥A-BCD存在时CD的范围，则答案可求.【详解】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，取AB中点O,连接CO，DO,可得CO=,因为AD⊥BD,当AD=BD时，OD最长为1,则当等腰直角三角形ABD在平面ABC上时，CD的最小值为-1，最大值为+1,则要使三棱锥A-BCD存在，CD∈(-1,+1),所以CD长的取值区间的长度为(+1)-(-1)=2.故选：B【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题.二、多选题11．（2022·全国·高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（    ）A．底面椭圆的离心率为B．侧面积为C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为D．底面积为【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．【详解】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知，则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，，，所以离心率为，A正确；，垂足为，则，易知，，又，所以斜圆柱侧面积为，B正确；，，，，椭圆面积为，D正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为，C错．故选：ABD．12．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（    ）A．正方体在每个顶点的曲率均为B．任意四棱锥的总曲率均为；C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是；D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则该类多面体的总曲率是常数【答案】ABD【分析】根据曲率的定义依次判断即可.【详解】对于A，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故A正确；对于B，由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故B正确；对于C，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有，而选项C中所给的多面体的顶点数、面数、棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C不正确；对于D，设每个面记为边形，则所有的面角和为，根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故D正确.故选：ABD.13．（2020秋·山东济南·高三统考期末）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可.【详解】在长方体中，AB=AD=2，，A：同时与垂直，，又因为，所以，且，构成右手系，故成立，故A正确；B：根据三个向量构成右手系，可知，，则，故B错误；C：，且与同向共线，，且与同向共线，又，且与同向共线，即与同向共线，所以，且与同向共线，所以，故C正确；D：长方体的体积，，所以，故D正确.故选：ACD14．（2022春·全国·高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（    ）A．长方体中含有两个相同的等腰四面体B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为【答案】ABC【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各