专题14集合,复数,逻辑语言专题(数学文化)一、单选题1.(2022·高一课时练习)数系的扩张过程以自然数为基础,德国数学家克罗内克(Kronecker,1823﹣1891)说“上帝创造了整数,其它一切都是人造的”设为虚数单位,复数满足,则的共轭复数是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得,然后利用共轭复数的概念判定.【详解】解:,故选:C.2.(2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中)某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测,并将数据整理如图所示,其中集合S表示()A.无症状感染者 B.发病者 C.未感染者 D.轻症感染者【答案】A【分析】由即可判断S的含义.【详解】解:由图可知,集合S是集合A与集合B的交集,所以集合S表示:感染未发病者,即无症状感染者,故选:A.3.(2021秋·湖北十堰·高一校联考期中)必修一课本有一段话:当命题“若,则”为真命题,则“由可以推出”,即一旦成立,就成立,是成立的充分条件.也可以这样说,若不成立,那么一定不成立,对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析,“有志”是“能至”的( )A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立,所以“能至”是“有志”的充分条件,“有志”是“能至”的必要条件,故选:B.4.(2022秋·云南曲靖·高一校考期中)杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句:“读书破万卷,下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书,博览群书,这样落实到笔下,运用起来才有可能得心应手,如有神助一般,由此可得,“读书破万卷”是“下笔如有神”的( )A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多,文章未必就写得越好,但不可否认的是,一般写作较好的人,他的阅读量一定不会少,而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选:C5.(2020·陕西榆林·统考一模)在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则( )A. B.4 C. D.16【答案】D【解析】根据复数乘方公式:,直接求解即可.【详解】,.故选:D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.6.(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)在代数史上,代数基本定理是数学中最重要的定理之一,它说的是:任何一元次复系数多项式在复数集中有个复数根(重根按重数计)那么在复平面内使除了1和这两个根外,还有一个复数根为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】利用方程根的意义,把代入方程,经化简变形即可得解.【详解】因是方程的根,即,所以是方程的根.故选:B7.(2021春·安徽宣城·高一校联考期中)瑞士著名数学家欧拉发现了公式(为虚数单位),它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可.【详解】解:根据欧拉公式,得,即它在复平面内对应的点为,故位于第二象限.故选:B.8.(2022·全国·高三专题练习)“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的,直到19世纪虚数才真正闻人数的领域,虚数不能像实数一样比较大小.已知复数,且(其中i是虚数单位,则复数( )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据条件,设,再列式求,即可得到复数.【详解】设,,①,得,且②,由①②解得:,,所以.故选:C9.(2022·全国·高三专题练习)2022年1月,中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告,分别独立通过实验,验证了虚数i在量子力学中的必要性,再次说明了虚数i的重要性.对于方程,它的两个虚数根分别为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证.【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现,它们互为共轭复数,因此排除CD,A选项,,因此选项A正确,则选项B错误(因为3次方程只有3个根(包括重根)).故选:A.10.(2022·全国·高三专题练习)人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展,从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时,首先引进了,17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”,用表示复数,并在直角坐标系上建立了“复平面”.若复数z满足方程,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】设出复数z的代数形式,再利用复数为0列出方程组求解作答.【详解】设,因,则,即,而,则,解得,所以.故选:C11.(2022·高一单元测试)中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题:今有物,不知其数三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二问:物几何?现有如下表示:已知,,,若,则下列选项中符合题意的整数为A. B. C. D.【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合、、的表达式,检验是否为、、的元素,即可选出正确选项.【详解】因为,则,选项A错误;,则,选项B错误;,则,选项C错误;,故;,故;,故,则,选项D正确.故选:D.12.(2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习)在数学漫长的发展过程中,数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞:无论怎样设值,在规定的处理法则下,最终都将得到固定的一个值,再也跳不出去,就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合,则的子集个数为( )A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合,再根据交集的定义求出,从而可得答案.【详解】解:依题意,,,故,故的子集个数为8.故选:D.13.(2019·江西·高三校联考阶段练习)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和(),则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道,若令,则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值,即,若每次都取最简分数,那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为A. B. C. D.【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次,即可得到本题答案.【详解】第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值,即;第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值,即;第三次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值,即,所以答案为.故选:C【点睛】本题考查“调日法”,主要考查学生的计算能力,属于基础题.14.(2022·上海·高一专题练习)古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理,它是使用天平秤物品的理论基础,当天平平衡时,左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积,某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买黄金,售货员先将的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( )A.大于 B.小于 C.大于等于 D.小于等于【答案】A【分析】设天平左臂长为,右臂长为(不妨设),先称得的黄金的实际质量为,后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡,列出等式,可得表达式,利用作差法比较与10的大小,即可得答案.【详解】解:由于天平的两臂不相等,故可设天平左臂长为,右臂长为(不妨设),先称得的黄金的实际质量为,后称得的黄金的实际质量为.由杠杆的平衡原理:,.解得,,则.下面比较与10的大小:(作差比较法)因为,因为,所以,即.所以这样可知称出的黄金质量大于.故选:A15.(2022·高一课时练习)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中,对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教材中利用该图作为几何解释的是( )A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.对任意实数a和b,有,当且仅当时,等号成立【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为,斜边长为,则,利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论.【详解】直角三角形的两直角边长分别为,斜边长为,则,在正方形的面积为,四个直角三角形的面积和为,因此有,即,当且仅当时,中间没有小正方形,等号成立.故选:D.16.(2022秋·北京丰台·高一统考期末)《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为( )A.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) B.C.(a>0,b>0) D.(a>0,b>0)【答案】C【分析】由图形可知,,在Rt△OCF中,由勾股定理可求CF,结合CF≥OF即可得出.【详解】解:由图形可知,,,在Rt△OCF中,由勾股定理可得,CF=,∵CF≥OF,∴,故选:C.17.(2022·全国·高三专题练习)世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.已知复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由复数几何意义可得的轨迹为圆,从而将问题转化为点到点的距离,则所求最大值为圆心到的距离加上半径.【详解】,对应的点的轨迹为圆;的几何意义为点到点的距离,.故选:C.18.(2022·全国·高三专题练习)数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并给出以下公式,(其中是虚数单位,是自然对数的底数,),这个公式在复变论中有非常重要的地位,被称为“数学中的天桥”,根据此公式,有下列四个结论,其中正确的是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式,结合复数运算法则逐项计算后即可求解.【详解】对于A,,所以,故A不正确;对于B,,,所以,故B正确;对于C,,,所以,故C不正确;对于D,,故D不正确.故选:B.19.(2020·天津·南开中学校考模拟预测)由无理数引发的数学危机一直延续到世纪,直到年,德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割,下列选项中一定不成立的是( )A.没有最大元素,有一个最小元素B.没有最大元素,也没有最小元素C.有一个最大元素,有一个最小元素D.有一个最大元素,没有最小元素【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解,举具体的实例证明成立即可,A,B,D都能举出特定的例子,排除法则说明C选项错误【详解】若,;则没有最大元素,有一个最小元素;故A正确;若,;则没有最大元素,也没有最小元素;故B正确;若,;有一个最大元素,没有最小元素,故D正确;有一个最大元素,有一个最小元素不可能,故C不正确.故选:
高考数学专题14 集合,复数,逻辑语言专题(数学文化)(解析版)
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