专题08数列专题(新定义)一、单选题1.(2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习)对于正项数列中,定义:为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为,则该数列中的( )A. B. C. D.【答案】D【分析】确定,取和带入式子,相减得到答案.【详解】,即,故;;两式相减得,所以.故选:D2.(2023春·浙江·高三开学考试)对任意正整数对,定义函数如下:,,则( )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据新定义得,令即可判断A,根据累乘可判断B,利用二项式定理求得,结合判断C,,结合等比数列的前项和公式判断D.【详解】,令,则,,A错误;,累乘得:,,令,则B错误;因为,所以,,则C正确;,则D错误.故选:C.3.(2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试)定义:对于数列,如果存在一个常数,使得对任意的正整数恒有,则称数列是从第项起的周期为T的周期数列.已知周期数列满足:,,(),则( )A. B. C. D.1【答案】D【分析】写出周期数列的前几项,发现周期为6,进而求得的值.【详解】写出周期数列的前几项:1,3,2,,,,1,3,2,,,,1,…,发现周期数列是周期为6的周期数列,∴.故选:D.4.(2023秋·福建南平·高二统考期末)若数列的前n项和为,,则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且,设数列的前n项和为,若对恒成立,则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】B【分析】由新定义求得,然后由求得,从而可求得(裂项相消法)后得的最小值,解相应不等式可得结论.【详解】由题意,即,∴时,,又,∴时,,,,易知是递增数列,∴的最小值是(时取得),由题意,解得.故选:B.5.(2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习)对于一个项数列,记的“Cesaro平均值”为,若数列的“Cesaro平均值”为2022,数列的“Cesaro平均值”为2046,则( )A.24 B.26 C.1036 D.1541【答案】B【分析】先求出的值,再根据Cesaro平均值的求法列出等式,即可求出的值.【详解】因为数列的“Cesaro平均值”为,所以.因为的“Cesaro平均值”为,所以,所以,解得,故选:B.6.(2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试)等比数列中,公比,用表示它的前项之积,则,,…,中最大的是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意分析的符号,结合前项之积的性质运算求解.【详解】∵,则当为奇数时,,当为偶数时,,∴当或时,,当或时,,由题意可得:,令,解得,若取到最大,则,,即中最大的是.故选:C.7.(2022秋·北京·高二北京二中校考期末)如果数列满足(k为常数),那么数列叫做等比差数列,k叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是( )①若数列满足,则该数列是等比差数列;②数列是等比差数列;③所有的等比数列都是等比差数列;④存在等差数列是等比差数列.A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义(为常数),逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列满足,则,满足等比差数列的定义,故①正确;②数列,,不满足等比差数列的定义,故②错误;③设等比数列的公比为,则,满足等比差数列,故③正确;④设等差数列的公差为,则,故当时,满足,故存在等差数列是等比差数列,即④正确;故答案为:①③④故选:B.8.(2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习)定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④,其中是“保等比数列函数”的序号为( )A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】C【分析】根据新定义,结合等比数列性质,一一加以判断,即可得到结论.通过积的乘方,即可判断①;通过指数的幂的运算,即可判断②;通过积的运算即可判断③;由对数的运算法则,即可判断④.【详解】设是等比数列,由等比数列性质知,对于①,,即仍是等比数列,故正确;对于②,,即不是等比数列,故不正确;对于③,,即是等比数列,故正确;对于④,,即不是等比数列,故不正确;故选:C.9.(2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末)若数列满足,则称为“必会数列”,已知正项数列为“必会数列”,若,则( ).A. B.1 C.6 D.12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列是以为公比的等比数列,利用等比数列通项公式,即可求得答案.【详解】由题意数列满足,可得,故正项数列是以为公比的等比数列,则,故选:D10.(2022秋·陕西渭南·高二统考期末)设是无穷数列,若存在正整数,使得对任意的,均有,则称是间隔递增数列,是的间隔数.若是间隔递增数列,则数列的通项不可能是( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.【详解】对于A:,化简得:,存在正整数,使得对任意的,恒成立,所以是间隔递增数列;对于B:,因为为正整数且,所以,所以,所以是间隔递增数列;对于C:,因为为正整数且,所以,所以,所以是间隔递增数列;对于D:,当正奇数,时,,的正负由的奇偶性决定,此时不恒成立,不符合间隔递增数列的定义;当正偶数,时,,的正负由的奇偶性决定,此时不恒成立,不符合间隔递增数列的定义;故选:D.11.(2023·全国·高三专题练习)对于数列,若存在正整数,使得,,则称是数列的“谷值”,k是数列的“谷值点”.在数列中,若,则数列的“谷值点”为( )A.2 B.7 C.2,7 D.2,5,7【答案】C【分析】先求出,,,,,,,,再得到,,,结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解.【详解】因为,所以,,,,,,,,当,,,所以,因为函数在上单调递增,所以时,数列为单调递增数列,所以,,,,所以数列的“谷值点”为,.故选:C.12.(2023·全国·高二专题练习)若数列满足,则称为“对奇数列”.已知正项数列为“对奇数列”,且,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意可得,进而可得为等比数列,再求得通项公式即可.【详解】由题意得,所以,又,所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以.故选:D.13.(2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习)设表示落在区间内的偶数个数.在等比数列中,,,则( )A.21 B.20 C.41 D.40【答案】C【分析】设的公比为q,根据和求出,从而得和,再根据的定义可求出结果.【详解】设的公比为q,则,所以,则,所以.所以落在区间内的偶数共有41个,故.故选:C14.(2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试)对于数列,定义为数列的“加权和”,已知某数列的“加权和”,记数列的前n项和为,若对任意的恒成立,则实数p的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据与的关系求出,再根据等差数列的求和公式求出,将化为对任意的恒成立,分类讨论可求出结果.【详解】由,∴时,,∴,∴,时,也成立,∴,∴数列的前n项和为:,∵对任意的恒成立,∴,即,即,即,即,即对任意的恒成立,当时,对任意的恒成立,因为,∴,所以,当时,恒成立,,当时,对任意的恒成立,因为,∴,所以,综上可得:实数p的取值范围为.故选:A.15.(2023·全国·高三专题练习)若数列满足:若,则,则称数列为“等同数列”.已知数列满足,且,若“等同数列”的前项和为,且,,,则( )A.4711 B.4712 C.4714 D.4718【答案】D【分析】先对已知关系式变形,求出数列的通项公式,再利用“等同数列”的定义与已知条件得是周期数列,即可得.【详解】由得,则,故,所以,,,所以,所以,因为,所以,解得,同理得,,,…,故数列是以3为周期的数列,所以,故选:D.16.(2022·全国·高三专题练习)设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是( )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列【答案】C【分析】根据题中定义,结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此选项AB不正确;选项C:设等差数列的公差为,所以,当时,当时,,所以数列一定是收敛数列,因此本选项正确;选项D:因为,,所以可得,当时,由,两式相减,得,所以,所以该数列的周期为,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法不正确,故选:C【点睛】关键点睛:利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.17.(2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试)设数列:,,…,,若存在公比为q的等比数列:,,…,,使得,其中,2,…,m,则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为,其“等比分割数列”的首项为1,则数列的公比q的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由题意可得,,从而可得且,可得,再根据指数函数的单调性求出的最小值即可【详解】由题意可得,,所以,且,当时,成立;当,3,…,10时,应有成立,因为在R上单调递增,所以随着n的增大而减小,故,综上,q的取值范围是.故选:C.18.(2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试)若数列{an}满足……,则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足,则实数t的取值范围是( )A. B.(-∞,1)C. D.(1,+∞)【答案】A【分析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.【详解】因为所以当时,两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列当时,所以,则由“差半递增”数列的定义可知化简可得解不等式可得即实数的取值范围为故选:A.19.(2022·浙江·高二学业考试)通过以下操作得到一系列数列:第1次,在2,3之间插入2与3的积6,得到数列2,6,3;第2次,在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积,得到数列2,12,6,18,3;类似地,第3次操作后,得到数列:2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后,得到的数列记为,则的值是( )A.6 B.12 C.18 D.108【答案】A【分析】设数列经过第次拓展后的项数为,因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项,则经过第次拓展后增加的项数为,从而可得,从而可求出,从而可知经过11次拓展后在与6之间增加的数为,由此可得出经过11次拓展后6所在的位置,即可得出答案.【详解】解:设数列经过第次拓展后的项数为,因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项,则经过第次拓展后增加的项数为,所以,即,即,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,是以,所以,则经过11次拓展后在与6之间增加的数为,所以经过11次拓展后6所在的位置为第,所以.故选:A.二、多选题20.(2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)若数列满足:对任意正整数为递减数列,则称数列为“差递减数列”.给出下列数列,其中是“差递减数列”的有( )A. B.C. D.【答案】CD【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.【详解】对A,若,则,由函数在上单调递增,所以为递增数列,故错误;对B,若,则,由函数在上单调递增,所以为递增数列,故B错误;对C,若,则,由函数在上单调递减,所以为递减数列,故C正确;对D,若,则,由函数在上单调递减,所以为递减数列,故D正确.故选:CD.21.(2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习)若数列满足:,,使得对于,都有,则称具有“三项相关性”,下列说法正确的有( )
高考数学专题08 数列专题(新定义)(解析版)
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