“四大妙法”,剖析向量的秒杀体系 (学生版)

2023-11-14 · U1 上传 · 14页 · 1.8 M

“四大妙法”,剖析向量的秒杀体系目录一、重难点题型方法妙法一:奔驰定理与四心问题题型一:奔驰定理题型二:重心问题题型三:内心问题题型四:外心问题题型五:垂心问题妙法二:极化恒等式题型六:极化恒等式的应用妙法三:隐圆题型七:定点定长;定弦定角;对角互补;到两定点数量积(平方和)定值题型八:阿波罗尼斯圆妙法四:等和线题型九:等和线的应用二针对性巩固练习重难点题型方法妙法一:奔驰定理与四心问题题型一:奔驰定理【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.设O是锐角△ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下命题不正确的有(    )A.若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心B.若OA+2OB+3OC=0,则SA:SB:SC=1:2:35π9C.若OA=OB=2,∠AOB=,2OA+3OB+4OC=0,则S△ABC=62D.若O为△ABC的垂心,则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0例2.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三S角形ABC内一点,且满足:OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA,则△AOB=(    )S△ABC2111A.B.C.D.5263【方法技巧总结】1.奔驰定理:SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0,则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于λ3:λ2:λ1【变式训练】1.(2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习)如图.P为△ABC内任意一点,角A,B,C的对边分别为a,b,c,总有优美等式S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0成立,因该图形酯似奔驰汽车车标,故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有()A.若P是△ABC的重心,则有PA+PB+PC=0B.若aPA+bPB+cPC=0成立,则P是△ABC的内心21C.若AP=AB+AC,则S:S=2:555△ABP△ABCπD.若P是△ABC的外心,A=,PA=mPB+nPC,则m+n∈-2,142.(2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.若O是锐角△ABC内的一点,A,B,C是△ABC的三个内角,且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC.则()A.O为△ABC的外心B.∠BOC+A=πC.OA:OB:OC=cosA:cosB:cosCD.tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0题型二:重心问题【典例分析】π例1.(四川省达州市2023届高三二模数学(理科))如图,在△ABC中,AB=3,∠ABC=,BA⋅BC=418,平面ABC内的点D、E在直线AB两侧,△ABD与△BCE都是以B为直角顶点的等腰直角三角形,O1、O2分别是△ABD、△BCE的重心.则O1O2=(    )A.26B.33C.5D.6例2.(2023·全国·高三专题练习)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两11边交于M,N两点,设xAB=AM,yAC=AN,则+的值为(    )xyA.3B.4C.5D.6【方法技巧总结】1.O是△ABC的重心:S△BOC:S△COA:S△A0B=1:1:1⇔OA+OB+OC=0.【变式训练】1.(2022春·浙江·高二统考学业考试)在△ABC中,设AD=2DB,BE=2EC,CF=λFA,其中λ∈R.若△DEF和△ABC的重心重合,则λ=()13A.B.1C.D.2222.(2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考阶段练习)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,O为平ABAC面内任意一点,动点Р满足OP=OA+λ+,λ∈0,+∞则动点P的轨迹一ABsinBACsinC定经过△ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心题型三:内心问题【典例分析】例1.(2003·江苏·高考真题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=ABACOA+λ+,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()|AB||AC|A.外心B.内心C.重心D.垂心3例2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,cosA=,O为△ABC的内心,若AO=xAB+4yACx,y∈R,则x+y的最大值为()26-67-78-22A.B.C.D.3567【方法技巧总结】1.O是△ABC的内心:S△B0C:S△COA:S△AOB=a:b:c⇔aOA+bOB+cOC=0.ABAC2.内心在向量+所在的直线上;AB⋅PC+BC⋅PC+CA⋅PB=0⇔P为△ABC的ABAC内心.【变式训练】1.(2022·全国·高三专题练习)平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形,若将△OAB,△OBC,△OCA的面积分别记作Sc,Sa,Sb,则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0.因图形和奔驰车的logo很相似,常把上述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0,则O为△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2.(2023·全国·高一专题练习)已知在△ABC中,AB=BC=3,AC=4,设O是△ABC的内心,若AOm=mAB+nAC,则=(    )n39416A.B.C.D.41639题型四:外心问题【典例分析】例1.(2023·全国·高一专题练习)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点POB+OCABAC满足OP=+λ+,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过2ABcosBACcosC△ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心2π例2.(2023·重庆·统考二模)已知点O是△ABC的外心,AB=6,BC=8,B=,若BO=xBA+3yBC,则3x+4y=()A.5B.6C.7D.8【方法技巧总结】1.O是△ABC的外心:S△B0C:S△COA:S△AOB=sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.2.PA=PB=PC⇔P为△ABC的外心.【变式训练】π1.(2022·全国·高三专题练习)如图,△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=,O为△ABC外心,且3AO=mAB+nAC,则m+n的值为()211713A.B.C.D.3189182.(2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测)已知O是△ABC的外心,外接圆半径为2,且满足2AO3=AB+AC,若BA在BC上的投影向量为BC,则AO⋅BC=(    )4A.-4B.-2C.0D.2题型五:垂心问题【典例分析】22例1.(2020春·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习)已知点O为△ABC所在平面内一点,且OA+BC=OB2+CA2=OC2+AB2,则O一定为△ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心例2.(2023·全国·高三专题练习)设O是△ABC所在平面上一点,点H是△ABC的垂心,满足OA+OB+OC=OH,且3⋅OA+OB+2⋅OC=0,则角A的大小是()3ππππA.B.C.D.4324【方法技巧总结】1.O是△ABC的垂心:S△B0C:S△COA:S△AOB=tanA:tanB:tanC⇔tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.2.PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA⇔P为△ABC的垂心.【变式训练】1.(2023春·重庆南岸·高一重庆市辅仁中学校校考阶段练习)已知O是平面上一定点,A、B、C是平面ABAC上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λ+,λ∈0,+∞,则动点P的ABcosBACcosC轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心122.(2023·全国·高三专题练习)已知H为△ABC的垂心,若AH=AB+AC,则sin∠BAC=(    )35151063A.B.C.D.5533妙法二:极化恒等式题型六:极化恒等式的应用【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)已知正方形ABCD的边长为2,MN是它的外接圆的一条弦,点P为正方形四条边上的动点,当弦MN的长度最大时,PM⋅PN的取值范围是()A.-1,0B.0,2C.1,2D.-1,1例2.(2023春·江苏南京·高一校考期中)如图所示,矩形ABCD的边AB=2,AD=1,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD交于点E,若点P是圆弧EB(含端点B、E)上的一点,则PA⋅PB的取值范围是()A.0,2-1B.1-2,0C.0,2-22D.2-22,0【方法技巧总结】1221.极化恒等式:a+b-a-b4122①平行四边形模式:a⋅b=AC-DB4几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1.4212②三角形模式:a⋅b=AM-DB(M为BD的中点)4【变式训练】1.(2021春·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习)半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0,点P是圆内一点,则PA⋅PO+PB⋅PC的取值范围为()A.[-4,14)B.[0,4)C.[4,14]D.[4,16]2.(2023·山东潍坊·校考模拟预测)如图所示,△ABC是边长为8的等边三角形,P为AC边上的一个动点,EF是以B为圆心,3为半径的圆的直径,则PE⋅PF的取值范围是(    )A.28,46B.32,58C.39,55D.42,60妙法三:隐圆题型

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