高考数学专题08以椭圆为情景的几何证明问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型 （

椭圆必会十大基本题型讲与练08以椭圆为情景的几何证明问题典例分析圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.角度一、有关角度的证明1．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆C的一条切线与，交于M，N两点，求证：是定值.2、设椭圆的右焦点为，过的直线与交于,两点，点的坐标为．(1)当与轴垂直时，求直线的方程；(2)设为坐标原点，证明：．角度二、有关三点共线的证明1、已知是圆：上的动点，设在轴上的射影为，动点满足，的轨迹为.（1）求的方程；（2）圆及曲线与轴的四个交点，自上而下记为，，，，直线，与轴分别交于，（为相异两点），直线与的另一个交点为，求证：，，三点共线.2、设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为eq\f(\r(2),2)，△ABF2的周长为4eq\r(6).(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心O而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．角度三、有关线段长度关系的证明1、已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上的动点，若的周长为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设曲线与轴正半轴交于点，直线与交于、两点，是线段的中点，证明：.2、已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2eq\r(3)，直线l1：x＝4与x轴的交点为G，过点M(1,0)且不与x轴重合的直线l2交椭圆E于点A，B.当l2垂直于x轴时，△ABG的面积为eq\f(3\r(3),2).(1)求椭圆E的方程；(2)若AC⊥l1，垂足为C，直线BC交x轴于点D，证明：|MD|＝|DG|.3、已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．角度四、有关点线位置关系的证明1、已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.2、已知椭圆E：（）的离心率为，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点和点（）.当直线与x轴垂直时，.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l：交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C．求证：直线过线段的中点.角度五、有关线线位置关系的证明1、已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．2．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；方法点拨1、几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．2、证明三点共线问题的方法圆锥曲线中的三点共线问题，其实就是对应直线(斜率存在)上的三点中相关两个点对应的斜率相等问题，即若要证明A，B，C三点共线，即证明kAB＝kAC(或kAB＝kBC或kAC＝kBC)．巩固练习1．已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．2、已知抛物线：过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：为线段的中点．3、已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．4、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1,0)，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M(－4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB.5、如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3。(1)求圆C的方程。(2)过点M任作一条直线与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM。6、已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))在椭圆E上。(1)求椭圆E的方程。(2)设不过原点O且斜率为eq\f(1,2)的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|。7.已知椭圆:过点,、分别为椭圆的左、右焦点且.(1)求椭圆的方程;(2)直线平行于(为原点),且与椭圆交于两点、,与直线交于点(介于、两点之间).①当面积最大时,求的方程;②求证:.8.如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线经过线段的中点.9、设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝4eq\r(3)y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e＝eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2，求直线l的方程；(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：eq\f(|AB|2,|MN|)为定值．10、设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq\f(\r(5),10).(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.11．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，－1)，离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝k(x－1)(k≠0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1,0)，求证：点M不在以AB为直径的圆上．12、已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))为椭圆E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)过点Q(1,0)的直线l交椭圆E于A，B两点，直线l与直线x＝4相交于点C，求证：直线PA，PC，PB的斜率成等差数列．13．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.14．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点(0,1)，其右焦点为F(1，0)．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)过点M(2,0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，Q关于x轴对称的点为N，判断P，F，N三点是否共线，并加以证明．15．已知动点P到直线l：x＝4的距离是到点F(1,0)距离的2倍，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)记曲线C与x轴交于A，B两点，Q(4,0)，设M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一交点分别为D，E.求证：Q，D，E三点共线．16．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点C(0,1)，离心率为eq\f(\r(3),2).O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点(不在坐标轴上)，直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且eq\o(OP,\s\up7(―→))·eq\o(OQ,\s\up7(―→))＝4，求证：C，B，Q三点共线．