高考数学专题04 以椭圆为情景的最值与范围问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

2023-11-14 · U1 上传 · 6页 · 390.3 K

椭圆必会十大基本题型讲与练04以椭圆为情景的最值或范围问题典例分析类型一:利用函数思想求范围或最值1.如图,已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围()A.[-1,1] B. C. D.(-1,0)2.已知曲线,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C.记△OAD的面积S1,四边形ABCD的面积为.求的最小值.3.已知点是椭圆上任一点,那点到直线:的距离的最小值为()A. B. C. D.4.椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是()A. B. C. D.类型二:利用不等式思想求范围或最值1.椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上一动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是()A. B.C. D.2.如图,过椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq\f(1,3)范围是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))类型三:利用数形集合思想求范围或最值1.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上且异于长轴端点.点M,N在△PF1F2所围区域之外,且始终满足,,则|MN|的最大值为()A.6 B.8 C.10 D.122.设,分别为椭圆()的左,右焦点,为内一点,为上任意一点,若的最小值为,则的方程为__________.3.椭圆的左焦点为F,直线x=t与椭圆相交于点M,N,当的周长最大时,的面积是___________.方法点拨一、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质求最值或取值范围.(2)利用函数,尤其是二次函数求最值或取值范围.(3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围.二、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:(1)几何法:特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;(2)代数法:常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.三、椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.要理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量之间的内在联系.(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1,三角形两边之和大于第三边.在求椭圆相关量的范围或最值时,要注意应用这些不等关系.巩固练习1.若直线y=kx+1与椭圆eq\f(x2,5)+eq\f(y2,m)=1总有公共点,则m的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(0,+∞)C.(0,1)∪(1,5) D.[1,5)∪(5,+∞)2.设P是椭圆上一点,M、N分别是两圆:和上的点,则的最小值、最大值的分别为()A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.9,113.已知椭圆的左,右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为12,则m的值是()A.2 B. C.3 D.4.已知点是椭圆上异于顶点的动点,、为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,若是平分线上的一点,且,则的取值范围是()A. B. C. D.5.设椭圆,已知点,点为曲线上的点,若的最大值为,则的取值范围为()A. B. C. D.6.已知椭圆方程为,是上、下顶点,为椭圆上的一个动点,且的最大值为120°,若,则的最小值为()A.9 B.3 C. D.7.是椭圆上的点,、是椭圆的左、右焦点,设,则的最大值与最小值之和是()A.16 B.9 C.7 D.258.已知三个顶点都在曲线上,且(其中O为坐标原点),分别为的中点,若直线的斜率存在且分别为,则的取值范围为()A. B. C. D.9.已知椭圆的一个焦点为,一个顶点为,设,点是椭圆上的动点,若恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.10.已知点在椭圆上,过点分别作斜率为-2,2的直线,与直线,分别交于,两点.若,则实数的取值可能为()A. B.1 C.2 D.311.已知,是椭圆的左,右焦点,动点在椭圆上,的平分线与轴交于点,则的可能取值为()A. B. C. D.12.(多选)已知为椭圆的左、右焦点,为椭圆上的动点,则下面四个结论正确的是()A.的最大值大于3B.的最大值为4C.的最大值为60°D.若动直线垂直于轴,且交椭圆于两点,为上满足的点,则点的轨迹方程为或如图,点A,B分别是椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,b2)=1(0<b<5)的长轴的左、右端点,F为椭圆的右焦点,直线PF的方程为eq\r(15)x+y-4eq\r(15)=0,且eq\o(PA,\s\up7(―→))·eq\o(PF,\s\up7(―→))=0,设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为________.14.已知直线:与椭圆:相交于、两点,若椭圆上存在点,使得,则实数的取值范围是_________.15.设椭圆:的右焦点为,过原点的动直线与椭圆交于,两点,那么的周长的取值范围为__________.16.己知椭圆,过点的直线与椭圆相交于A,B两点,线段AB的中点为M,则点M的纵坐标的最大值为__________.17.已知椭圆的左、右顶点分别为,点P在椭圆上且异于两点,O为坐标原点.(1)若直线与的斜率之积为,求椭圆C的离心率;(2)若,证明直线的斜率k满足大于.18.椭圆:的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆的方程;(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围;19.已知动点在椭圆:()上,,为椭圆的左、右焦点.过点作轴的垂线,垂足为,点满足,且点的轨迹是过点的圆.(1)求椭圆的方程;(2)过点,分别作平行直线和,设交椭圆于点,,交椭圆于点,,求四边形的面积的最大值.20.已知直线与椭圆交于、两点,且在直线的上方(如图所示).(1)求常数的取值范围;(2)若的面积最大,求直线的斜率的大小.

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