椭圆必会十大基本题型讲与练09椭圆与平面向量的交汇问题典例分析角度一、以共线向量为条件情景命题1、设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为,点满足.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.2、已知椭圆的右焦点为,且经过点,点是轴上的一点,过点的直线与椭圆交于,两点(点在轴的上方)(1)求椭圆的方程;(2)若,且直线与圆相切于点,求的长.3、已知椭圆,其左右顶点分别为,,上下顶点分别为,.圆是以线段为直径的圆.(1)求圆的方程;(2)若点,是椭圆上关于轴对称的两个不同的点,直线,分别交轴于点、,求证:为定值;角度二、以向量运算为情景命题1、已知是椭圆的左右顶点,点为椭圆上一点,点关于轴的对称点为,且.(1)若椭圆经过圆的圆心,求椭圆的方程;(2)在(1)的条件下,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.2、已知斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为().(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且,证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.3、在平面直角坐标系中,已知点,点在直线上,点满足,,点的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)为C上动点,为C在点处的切线,求点到距离的最小值.角度三、以向量为问题情景命题1、在直角坐标系xOy上取两个定点A1(,0),A2(,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.(1)求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程;(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q,过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若(λ>1),求证:.2.如图,椭圆E:的左、右焦点分别为,,R是椭圆E上任意一点,的取值范围是,动直线l:与椭圆相交于A,B两点.(1)求椭圆E的标准方程:(2)若,B关于y轴的对称点是,证明:;(3)若,B关于y轴的对称点是,试探究:是否成立?说明理由.方法点拨(1)遇到求椭圆标准方程问题,想到定义法或待定系数法,想到二元一次方程组的解法.(2)遇到向量数量积问题,想到向量的坐标表示,向量相等的条件,向量数量积的坐标运算公式.(3)遇到最值问题,想到构造函数求最值或运用基本不等式求最值,或将问题转化为其他相关知识求解,如本题就是将最值转化为一元二次不等式求解.巩固练习1、设为坐标原点,动点在椭圆:上,过做轴的垂线,垂足为,点满足QUOTENP=2NM.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且QUOTEOP⋅PQ=1.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.2、设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.3、设椭圆的左右焦点分别为,离心率是,动点在椭圆上运动,当轴时,.(1)求椭圆的方程;(2)延长分别交椭圆于点(不重合).设,求的最小值.4、设椭圆C:的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,.K^S*5U.C#(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)如果|AB|=,求椭圆C的方程.5、已知椭圆的左顶点为,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点的直线l交椭圆C于A,B两点,当取得最大值时,求的面积.6、已知A、B分别为椭圆E:(a>1)左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E方程;(2)证明:直线CD过定点.7、已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)经过点M(-2,1),且右焦点为F(eq\r(3),0).(1)求椭圆的方程;(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆C于A,B两点,记t=eq\o(MA,\s\up7(―→))·eq\o(MB,\s\up7(―→)),若t的最大值和最小值分别为t1和t2,求t1+t2的值.8、已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),A(2,0)是长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,点C在第一象限,且eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))=0,|eq\o(OC,\s\up7(―→))-eq\o(OB,\s\up7(―→))|=2|eq\o(AB,\s\up7(―→))+eq\o(BC,\s\up7(―→))|.(1)求椭圆的标准方程.(2)设P,Q为椭圆上不重合的两点且异于A,B,若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,问:是否存在实数λ,使得eq\o(PQ,\s\up7(―→))=λeq\o(AB,\s\up7(―→))?若存在,求出λ取得最大值时PQ的长;若不存在,请说明理由.9、椭圆的右焦点,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆交于、两点,为坐标原点,若,求的面积.10.已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点;当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4eq\r(2),且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为eq\f(4,3).(1)求椭圆C的方程;(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点,满足eq\o(MP,\s\up7(―→))+eq\o(MO,\s\up7(―→))+eq\o(MQ,\s\up7(―→))=0,若点M恰好在圆O:x2+y2=eq\f(4,9)上,求实数m的取值范围.11、已知椭圆E:的离心率为,且过点.直线l:与y轴交于点P,与椭圆交于M,N两点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若,求实数m的值.12、已知椭圆M:1(a>b>0)的长轴长为2,离心率为,过点(0,1)的直线l与M交于A,B两点,且.(1)求M的方程;(2)求点P的轨迹方程.13、已知是椭圆的左、右焦点,圆()与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)过正半轴上一点的直线与圆相切,与椭圆交于点,若,求直线的方程.14.已知椭圆C:1左右焦点为F1,F2直线(1)xy0与该椭圆有一个公共点在y轴上,另一个公共点的坐标为(m,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上任一点,过焦点F1,F2的弦分别为PM,PN,设λ1λ2,求λ1+λ2的值.15.已知椭圆的离心率为,直线,圆的方程为,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的左顶点为,上顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)已知经过点且斜率为直线与椭圆有两个不同的交点和,请问是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
高考数学专题09椭圆与平面向量的交汇问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型 (原
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