高考数学专题05椭圆的中点弦问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型（原卷版）

椭圆必会十大基本题型讲与练05椭圆中的中点弦问题典例分析1．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．2．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（）A． B． C． D．3．已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．4、(多选)设椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq\f(4\r(2),3)5．已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.（1）求的标准方程；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.方法点拨1、解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的常规思路(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系． 设斜率为k的直线AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直线AB的斜率k＝－eq\f(b2x0,a2y0).巩固练习已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为( )A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝12．已知椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－23．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．4．已知椭圆：上有三点，，，线段，，的中点分别为，，，为坐标原点，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，且，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，则（）A． B． C． D．5．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2,0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，则椭圆的长轴长为( )A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(8\r(3),3)6．椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq\f(\r(3),2)，则eq\f(b,a)的值为( )A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(9\r(3),2) D.eq\f(2\r(3),27)7．已知椭圆的标准方程为，点是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．9．（多选题）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（）A．直线与垂直；B．若点坐标为，则直线方程为；C．若直线方程为，则点坐标为D．若直线方程为，则.10．（多选题）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为，则（）A．B．直线与直线的斜率之积为C．直线与直线的斜率之积为D．若直线，，的斜率之和为，则的值为11．（多选题）已知椭圆C：内一点M(1，2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0） B．椭圆C的长轴长为C．直线的方程为 D．12．已知(4,2)是直线l被椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．13．直线l过椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆相交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为________．14．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F（0，3），直线4x+3y﹣13＝0与其相交于MN两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是__．15．已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为______________．16．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是______________．①椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) ②椭圆C的长轴长为③直线的方程为 ④17．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.18．己知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为1，求弦的长；（3）若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程．19．已知点，不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于两点．（1）若M为线段的中点，证明：；（2）设C的左焦点为F，若M在的角平分线所在直线上，且l被圆截得的弦长为，求l的方程．20．已知椭圆：.（1）椭圆是否存在以点为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，，点是椭圆上的点，若直线，分别与直线交于，两点，求线段的长度取得最小值时直线的斜率.