高考数学专题05椭圆的中点弦问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型(原卷版)

2023-11-14 · U1 上传 · 6页 · 273.3 K

椭圆必会十大基本题型讲与练05椭圆中的中点弦问题典例分析1.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为__________.2.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为,则的方程为()A. B. C. D.3.已知直线交椭圆于,两点,且线段的中点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.4、(多选)设椭圆的方程为eq\f(x2,2)+eq\f(y2,4)=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是( )A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(4,3)))D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=eq\f(4\r(2),3)5.已知椭圆的左、右焦点分别为,,且椭圆过点,离心率,为坐标原点,过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点,,线段的中点为.(1)求的标准方程;(2)记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值;(3)轴上是否存在点,使得为等边三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.方法点拨1、解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的常规思路(1)根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.(2)点差法:设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立弦的中点和直线的斜率的关系. 设斜率为k的直线AB为椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则(1)弦长l=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|;(2)直线AB的斜率k=-eq\f(b2x0,a2y0).巩固练习已知椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点为M(1,-1),则E的方程为( )A.eq\f(x2,45)+eq\f(y2,36)=1 B.eq\f(x2,36)+eq\f(y2,27)=1C.eq\f(x2,27)+eq\f(y2,18)=1 D.eq\f(x2,18)+eq\f(y2,9)=12.已知椭圆eq\f(x2,36)+eq\f(y2,9)=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )A.eq\f(1,2) B.-eq\f(1,2)C.2 D.-23.已知椭圆C:()的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A,B,若P为线段的中点,O为坐标原点,直线的斜率为,则椭圆C的方程为()A. B. C. D.4.已知椭圆:上有三点,,,线段,,的中点分别为,,,为坐标原点,直线,,的斜率都存在,分别记为,,,且,直线,,的斜率都存在,分别记为,,,则()A. B. C. D.5.若椭圆的中心为原点,过椭圆的焦点F(-2,0)的直线l与椭圆交于A,B两点,已知AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,2))),则椭圆的长轴长为( )A.2eq\r(2) B.4eq\r(2)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(8\r(3),3)6.椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq\f(\r(3),2),则eq\f(b,a)的值为( )A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(9\r(3),2) D.eq\f(2\r(3),27)7.已知椭圆的标准方程为,点是椭圆的右焦点,过的直线与椭圆相交于两点,且线段的中点为,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.过椭圆C:右焦点F的直线l:交C于A、B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,则椭圆C的方程为()A. B. C. D.9.(多选题)设椭圆的方程为,斜率为的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.下列结论正确的是()A.直线与垂直;B.若点坐标为,则直线方程为;C.若直线方程为,则点坐标为D.若直线方程为,则.10.(多选题)已知椭圆的离心率为,的三个顶点都在椭圆上,为坐标原点,设它的三条边,,的中点分别为,,,且三条边所在直线的斜率分别,,,且,,均不为,则()A.B.直线与直线的斜率之积为C.直线与直线的斜率之积为D.若直线,,的斜率之和为,则的值为11.(多选题)已知椭圆C:内一点M(1,2),直线与椭圆C交于A,B两点,且M为线段AB的中点,则下列结论正确的是()A.椭圆的焦点坐标为(2,0)、(-2,0) B.椭圆C的长轴长为C.直线的方程为 D.12.已知(4,2)是直线l被椭圆eq\f(x2,36)+eq\f(y2,9)=1所截得的线段的中点,则l的方程是________________.13.直线l过椭圆eq\f(x2,2)+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P,Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为________.14.已知椭圆中心在原点,且一个焦点为F(0,3),直线4x+3y﹣13=0与其相交于MN两点,MN中点的横坐标为1,则此椭圆的方程是__.15.已知点是椭圆上的三点,坐标原点是的重心,若点,直线的斜率恒为,则椭圆的离心率为______________.16.已知椭圆C:内一点M(1,2),直线与椭圆C交于A,B两点,且M为线段AB的中点,则下列结论正确的是______________.①椭圆的焦点坐标为(2,0)、(-2,0) ②椭圆C的长轴长为③直线的方程为 ④17.已知椭圆C的焦点为,,过的直线与椭圆C交于A,B两点.若的周长为.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆中以为中点的弦所在直线方程.18.己知椭圆的焦距为,短轴长为2,直线l过点且与椭圆C交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l的斜率为1,求弦的长;(3)若过点的直线与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦的中点,求直线的方程.19.已知点,不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于两点.(1)若M为线段的中点,证明:;(2)设C的左焦点为F,若M在的角平分线所在直线上,且l被圆截得的弦长为,求l的方程.20.已知椭圆:.(1)椭圆是否存在以点为中点的弦?若存在,求出弦所在的直线的方程,若不存在,请说明理由;(2)已知椭圆的左、右顶点分别为,,点是椭圆上的点,若直线,分别与直线交于,两点,求线段的长度取得最小值时直线的斜率.

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