“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系 (解析版）

“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系目录一、重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理题型二：重心问题题型三：内心问题题型四：外心问题题型五：垂心问题妙法二：极化恒等式题型六：极化恒等式的应用妙法三：隐圆题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积(平方和)定值题型八：阿波罗尼斯圆妙法四：等和线题型九：等和线的应用二针对性巩固练习重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则有SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题不正确的有(    )A.若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心B.若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:35π9C.若OA=OB=2,∠AOB=，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=62D.若O为△ABC的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0【答案】C【分析】对于A，假设D为AB的中点，连接OD，由已知得O在中线CD上，同理可得O在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得SA:SB:SC=92:3:4，再利用三角形面积公式可求得S=1，即可计算出S=，可得C错误；选项D，由垂心的C△ABC4性质、向量数量积的运算律OB∙AC=OB∙OC-OB∙OA=0，得到OA:OB:OC=cos∠BAC:cos∠ABC:cos∠BCA，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.【详解】对于A：如下图所示，假设D为AB的中点，连接OD，则OA+OB=2OD=CO，故C,O,D共线，即O在中线CD上，同理可得O在另外两边BC,AC的中线上，故O为△ABC的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则有SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0可知，若OA+2OB+3OC=0，可得SA:SB:SC=1:2:3，即B正确；对于C：5π15π由|OA|=|OB|=2,∠AOB=可知，S=×2×2×sin=1，6C26又2OA+3OB+4OC=0，所以SA:SB:SC=2:3:413由S=1可得，S=,S=；CA2B4139所以S=S+S+S=++1=，即C错误；△ABCABC244对于D：由四边形内角和可知，∠BOC+∠BAC=π，则OB∙OC=OBOCcos∠BOC=-OBOCcos∠BAC，同理，OB∙OA=OBOAcos∠BOA=-OBOAcos∠BCA，因为O为△ABC的垂心，则OB∙AC=OB∙(OC-OA)=OB∙OC-OB∙OA=0，所以OCcos∠BAC=OAcos∠BCA，同理得OCcos∠ABC=OBcos∠BCA，OAcos∠ABC=OBcos∠BAC，则OA:OB:OC=cos∠BAC:cos∠ABC:cos∠BCA，令OA=mcos∠BAC,OB=mcos∠ABC,OC=mcos∠BCA，11m2由SA=OBOCsin∠BOC，则SA=OBOCsin∠BAC=cos∠ABCcos∠BCAsin∠BAC，2221m21同理：SB=OAOCsin∠ABC=cos∠BACcos∠BCAsin∠ABC，SC=OAOBsin∠BCA222m2=cos∠BACcos∠ABCsin∠BCA，2sin∠BACsin∠ABCsin∠BCA综上，S:S:S=::=tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠BCA，ABCcos∠BACcos∠ABCcos∠BCA根据奔驰定理得tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0，即D正确.故选：C【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.例2.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三S角形ABC内一点，且满足：OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，则△AOB=(    )S△ABC2111A.B.C.D.5263【答案】D【分析】直接根据向量的基本运算得到3OA+OB+2OC=0，再结合“奔驰定理”即可求解结论．【详解】解：∵O为三角形ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，∴OA+2OB+3OC=3(OB-OA)+2(OC-OB)+(OA-OC)⇒3OA+OB+2OC=0，∵SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．S△AOBS△AOBSC1∴===，S△ABCS△AOB+S△BOC+S△AOCSA+SB+SC3故选：D．【方法技巧总结】1.奔驰定理：SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于λ3:λ2:λ1【变式训练】1.(2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习)如图.P为△ABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为a,b,c，总有优美等式S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有()A.若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=0B.若aPA+bPB+cPC=0成立，则P是△ABC的内心21C.若AP=AB+AC，则S:S=2:555△ABP△ABCπD.若P是△ABC的外心，A=，PA=mPB+nPC，则m+n∈-2,14【答案】AB【分析】对于A：利用重心的性质S△PBC=S△PAC=S△PAB，代入S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0即可；对于B：利用三角形的面积公式结合S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0与aPA+bPB+cPC=0可知点P到AB、BC、CA的距离相等.对于C：利用AB、AC将PA、PB、PC表示出来，代入S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0，化简即可表示出S△PBC、S△PAC、S△PAB的关系式，用S△PAB将S△ABP、S△ABC表示出来即可得处其比值.对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA=mPB+nPC两边平方，化简可得m2+n2=1，结合m、n的取值范围可得出答案.【详解】对于A：如图所示：因为D、E、F分别为CA、AB、BC的中点，121所以CP=2PE，S=S,S=S=S，△AEC2△ABC△APC3△AEC3△ABC11同理可得S=S、S=S，△APB3△ABC△BPC3△ABC所以S△PBC=S△PAC=S△PAB，又因为S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0，所以PA+PB+PC=0.正确；11对于B：记点P到AB、BC、CA的距离分别为h、h、h，S=a⋅h,S=b⋅h,S=123△PBC22△PAC23△PAB1c⋅h，21因为S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0，111则a⋅h⋅PA+b⋅h⋅PB+c⋅h⋅PC=0，222321即a⋅h2PA+b⋅h3PB+c⋅h1PC=0，又因为aPA+bPB+cPC=0，所以h1=h2=h3，所以点P是△ABC的内心，正确；21对于C：因为AP=AB+AC，552131所以PA=-AB-AC，所以PB=PA+AB=AB-AC，555524所以PC=PA+AC=-AB+AC，55213124所以S-AB-AC+SAB-AC+S-AB+AC=0，△PBC55△PAC55△PAB55232114化简得：-S+S-SAB+-S-S+SAC=0，5△PBC5△PAC5△PAB5△PBC5△PAC5△PAB又因为AB、AC不共线，232-S△PBC+S△PAC-S△PAB=0S=2S所以555，所以△PBC△PAB，114S=2S-5S△PBC-5S△PAC+5S△PAB=0△PAC△PABS△ABPS△PAB1所以==，错误；S△ABCS△PBC+S△PAC+S△PAB5ππ对于D：因为P是△ABC的外心，A=，所以∠BPC=,PA=PB=PC，42所以PB⋅PC=PB×PC×cos∠BPC=0，222因为PA=mPB+nPC，则PA=m2PB+2mnPB⋅PC+n2PC，化简得：m2+n2=1，由题意知m、n同时为负，m=cosα3ππ记，π<α<，则m+n=cosα+sinα=2sinα+，n=sinα245ππ7ππ2因为<α+<，所以-1≤sinα+<-，44442π所以-2≤2sinα+<-1，4所以m+n∈-2,-1，错误.故答案为：AB.2.(2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC.则()A.O为△ABC的外心B.∠BOC+A=πC.OA:OB:OC=cosA:cosB:cosCD.tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0【答案】BCD【分析】由根据数量积的运算律可得OB⋅CA=0⇔OB⊥CA,可得O为△ABC的垂心；结合∠OBC+C