高考数学专题02椭圆的焦点三角形——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型（原卷版）

椭圆必会十大基本题型讲与练02椭圆的焦点三角形典例分析一、焦点三角形的面积问题1．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（）A．1 B． C．2 D．2、设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是____.3、已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为。4．已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，椭圆C的另一个焦点是，且.（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆：，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆外切，直线l是圆P和圆的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求三角形F1AB的面积.二、焦点三角形的周长问题1．已知椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)2.已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴长为,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为()A. B. C. D. 3、椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D. 4．已知直线l经过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．三、以焦点三角形为情景的最值、范围问题1．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是（）A． B． C． D．2．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．253.（多选题）已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点,,下列说法正确的有()A. B.的最大值为C.存在点,使 D.的最大值为方法点拨（1）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)；④S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2).（2）利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧巩固练习1．椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝( )A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．22．椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝( )A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．23．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．2．设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )A．1 B.2C.3 D．46．过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（）A． B． C． D．4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．5、（多选题）已知P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，则( )A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．点P到x轴的距离为eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(―→))·eq\o(PF2,\s\up7(―→))＝26．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（）A． B． C． D．7、（多选题）已知P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，则( )A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．点P到x轴的距离为eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(―→))·eq\o(PF2,\s\up7(―→))＝28．（多选题）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A．的周长为10B．面积的最大值为C．当时，的面积为D．存在点P使得9．设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为________．10、已知F1，F2为椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，，则___________.11．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．12．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_______.①当点不在轴上时，的周长是6；②当点不在轴上时，面积的最大值为③存在点，使；④的取值范围是13．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.14．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当的周长最大时，的面积是___________.15．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.16、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．17.如图所示，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且eq\o(AF2,\s\up7(―→))＝2eq\o(F2B,\s\up7(―→))，求椭圆的方程．18．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别是、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，若，试求内切圆的面积.19．已知是椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程．20.如图,椭圆的左、右焦点为,,过的直线与椭圆相交于,两点.(1)若,且,求椭圆的离心率;(2)若,,求的最大值和最小值.